Ecueciones En Diferencia

11.5 Método de Transformada Z para la solución de ecuaciones en diferencias.
Dada una ecuación en diferencias de orden n,utilizamos las propiedades de la transformada Z, en especial las de linealidad y desplazamiento, para transformarla en una ecuaciónalgebraica.
La siguiente tabla muestra la transformada Z de algunas secuencias, usando la propiedad de desplazamiento.
FunciónDiscreta Transformada Z
X[n+4] Z4X[Z]-Z4X[0]-Z3[1]-Z2X[2]-ZX[3]
X[n+3] Z3X[Z]-Z3X[0]-Z2X[1]-ZX[2]
X[n+2] Z2X[Z]-Z2X[0]-ZX[1]
X[n+1]ZX[Z]-ZX[0]
X[n] X[Z]
X[n-1] Z-1X[Z]
X[n-2] Z-2X[Z]
X[n-3] Z-3X[Z]
X[n-4] Z-4X[Z]
Ejemplo 17
Resuelva la siguienteecuación en diferencias.
X[n+2]+3X[n+1]+2X[n]=0
con X[0]=0, X[1]=1
Solución
Al tomar la transformadas Z de ambos miembros de laecuación en diferencias dadas, se obtiene:
Z2X[Z]-Z2X[0]-ZX[1]+3ZX[Z]-3ZX[0]+2X[Z]=0
Al sustituir las condiciones iniciales ysimplificar, se obtiene:


por tanto, X[n]=[(-1)k-(-2)k]U[n]
Ejemplo 18
Resuelva la siguiente ecuación en diferencias:X[n+2]=X[n+1]+X[n]
con X[0]=0, X[1]=1
Solución
Al tomar la transformada Z de esta ecuación en diferencias, se obtiene:Z2X[Z]-Z2X[0]-ZX[1]=ZX[Z]-ZX[0]+X[Z]
Al resolver para X[Z] se obtiene:

Al sustituir la condiciones iniciales se obtiene:

por tanto,