Ed.Diferencial

Tema 7

Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior
Contenidos
Definiciones generales Problema de Cauchy Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Resoluci´n de ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando transformadas de o Laplace
Jos´ Luis Gal´n Garc´ Yolanda Padilla Dom´ e a ıa, ınguez y Pedro Rodr´ ıguez Cielos. Departamento de Matem´tica Aplicada a 1An´lisis Vectorial y Ecuaciones Diferenciales. I.T. de Telecomunicaci´n. a o

Tema 7: Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

7.1.

Definiciones generales

Ecuaci´n diferencial ordinaria de orden n o
Una ecuaci´n diferencial ordinaria (EDO) de orden n es una ecuaci´n que liga la variable indeo o pendiente x, una funci´n inc´gnita y = y(x) y sus derivadas sucesivas y , y , . .. , y (n) , es o o decir, es una expresi´n, bien de la forma o
F x, y, y , y , . . . , y (n) = 0

(forma impl´ ıcita)

o bien, si se puede despejar la derivada de mayor orden,
y (n) = f x, y, y , y , . . . , y (n−1)

(forma expl´ ıcita)

A la funci´n y = y(x) se le llama funci´n inc´gnita. o o o

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Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
En numerosos problemas de mec´nica o teor´ de circuitos el´ctricos, las ecuaciones diferenciales a ıa e que rigen los procesos son de orden mayor queuno. Veamos unos ejemplos donde la variable independiente es el tiempo t.

La figura representa un circuito RLC. Si Q(t) es la carga del condensador y E(t) el voltaje o tensi´n aplicada al circuito, se tendr´ (teniendo en cuenta la segunda ley de Kirchoff): o a
d2 Q dQ 1 E =L 2 +R + Q dt dt C que es una ecuaci´n diferencial lineal de coeficientes constantes que permitir´ calcular la carga o a queposee el condensador en cada instante de tiempo.
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Los movimientos vibratorios son otros ejemplos en los cu´les aparecenecuaciones diferenciales a lineales de coeficientes constantes de segundo orden: • Movimiento arm´nico simple (o vibratorio libre no amortiguado), que se rige mediante la o ecuaci´n diferencial o d2 x K + x=0 dt2 m donde la inc´gnita x(t) es el desplazamiento sufrido por una masa m en funci´n del o o tiempo t, y K es una constante de proporcionalidad. • Movimiento vibratorio amortiguado, que se rigemediante la ecuaci´n diferencial o
d2 x β dx K + + x=0 dt2 m dt m

donde la nueva constante β es una constante de amortiguaci´n positiva. o • Movimiento vibratorio forzado, regido mediante la ecuaci´n diferencial o
d2 x β dx K f (t) + + x= dt2 m dt m m

donde f (t) es la fuerza exterior que act´a sobre la masa oscilante sujeta al resorte. u

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Soluci´n de una ecuaci´n diferencial ordinaria de orden n o o
Dada una ecuaci´n diferencial ordinaria de orden n, F x, y, y , y , . . . , y (n) = 0, se llama soo luci´n dedicha ecuaci´n a toda funci´n φ(x) tal que F x, φ(x), φ (x), φ (x), . . . , φ(n) (x) = 0, o o o es decir, podemos decir que una soluci´n de una ecuaci´n diferencial ordinaria de orden n es toda o o funci´n que sustituida junto con sus derivadas en la ecuaci´n conduce a una identidad. o o

Ejemplo 7.1 Comprobar que la funci´n φ(x) = x3 ln x + x2 es soluci´n de la ecuaci´n diferencial o o o
y −...