Edad Media
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Publicado: 10 de marzo de 2013
Ejemplo 1.4: Usando la Ley de Gauss, calcular el campo eléctrico de una carga puntual positiva. Solución: Se escoge una superficie cerrada, concéntrica con la carga puntual. Entonces la superficie que cumple ser simétrica con la carga puntual es un cascarón esférico de radio r. Sobre esta superficie, el campo eléctrico es constante (radial). Figura 1.27.
Figura 1.27.Disposición geométrica paracalcular por ley de Gauss el campo de una carga puntual.
Como la carga puntual es positiva, el vector campo eléctrico, es paralelo al r vector área dA . Al escribir la ecuación de Gauss y resolviendo el producto punto entre vectores, se obtiene:
r r r r q Φ E = E • dA = E dA cos 0 o = E dA = ε0
∫
∫
∫
Por simetría,
r E =E
es constante en todo punto sobre la superficieGaussiana, y por tanto se puede extraer de la integral.
ΦE =
q = E dA = E (4 π r 2 ) ε0
∫
Se ha utilizado el resultado de la geometría del valor del área de una superficie esférica. Despejando, el campo eléctrico a una distancia r de la carga puntual q tiene por magnitud:
E=
q Kq = 2 4 π ε0 r2 r
Ec.1.14
La gráfica del campo eléctrico en función de la distancia de una cargapuntual, ecuación 1.13 aparece en la figura 1.28.
E (r )
0
Fig. 1.28. Campo eléctrico de una carga puntual,
r
Con el resultado de la ecuación 1.14, se puede mostrar la equivalencia de la ley de Coulomb con la ley de Gauss. Para esto, se coloca una carga puntual q0, en un punto donde el campo eléctrico es E. La fuerza electrostática sobre la carga q0 tiene una magnitud dada por:
F = q0E =
K q q0 r2
Ec.1.15
PREGUNTA: ¿Cómo cambia el resultado si la carga q es negativa? Ejemplo 1.5: Una carga eléctrica positiva + Q se coloca en el centro de una caja cúbica. Evaluar el flujo de campo eléctrico a través de una de las tapas del cubo. Figura 1.26.
Solución: Usando la ley de Gauss, el flujo de campo eléctrico a través de todas las tapas del cubo, es:
Q neta ΦE = ε0 Fig. 1.26. Ejemplo 1.5
Como la carga Q está ubicada en el centro de la caja cúbica, el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan las seis tapas del cubo, es el mismo para cada una de ellas. Entonces el flujo de campo eléctrico a través, por ejemplo, de la tapa de la derecha es:
ΦE =
1Q 6 ε0
Ejemplo 1.6: Usando la Ley de Gauss, calcular el campo eléctrico de una distribuciónesférica de carga de densidad volumétrica de carga eléctrica constante. Solución: Se escoge una superficie cerrada, concéntrica con la distribución esférica de carga. Esa superficie cerrada, es una superficie esférica. Si la esfera cargada tiene radio R y la superficie gaussiana radio r, se presentan dos situaciones: r > R y r < R. Resolviendo para r > R, se utiliza el dibujo de la figura 1.29.Fig. 1.29. Ejemplo 1.6
La esfera con carga eléctrica positiva de radio R, con densidad volumétrica de carga constante ρ, tendrá una carga total Q. Sobre la superficie gaussiana de r r radio r, se han dibujado los vectores E y dA . Se utiliza la expresión para la ley de Gauss:
∫
r Q r E • dA = ε0 S
.
Resolviendo el producto punto entre vectores se obtiene:
∫
S
E dA cos(0 o )=
Q ε0
Como el campo eléctrico sobre la superficie gaussiana es constante (radial), sale de la integral.
E dA =
S
∫
Q ε0
La integral se obtiene:
∫ dA
S
es el área de la superficie esférica de radio r. Reemplazando
E (4 π r 2 ) =
Q ε0
Finalmente, despejando se obtiene el valor del campo eléctrico a una distancia r, medida desde el centro de la distribuciónvolumétrica de carga.
E=
Q KQ = 2 2 4 π ε0 r r
Este resultado es el mismo de una carga puntual. Significa que el campo eléctrico de una distribución esférica de carga de carga total Q, calculado a una distancia r mayor que el radio R de la esfera, es igual al de una carga puntual Q ubicada en el centro de la esfera. Resolviendo ahora para r < R, se utiliza el dibujo de la figura 1.30.
r Sobre...
Figura 1.27.Disposición geométrica paracalcular por ley de Gauss el campo de una carga puntual.
Como la carga puntual es positiva, el vector campo eléctrico, es paralelo al r vector área dA . Al escribir la ecuación de Gauss y resolviendo el producto punto entre vectores, se obtiene:
r r r r q Φ E = E • dA = E dA cos 0 o = E dA = ε0
∫
∫
∫
Por simetría,
r E =E
es constante en todo punto sobre la superficieGaussiana, y por tanto se puede extraer de la integral.
ΦE =
q = E dA = E (4 π r 2 ) ε0
∫
Se ha utilizado el resultado de la geometría del valor del área de una superficie esférica. Despejando, el campo eléctrico a una distancia r de la carga puntual q tiene por magnitud:
E=
q Kq = 2 4 π ε0 r2 r
Ec.1.14
La gráfica del campo eléctrico en función de la distancia de una cargapuntual, ecuación 1.13 aparece en la figura 1.28.
E (r )
0
Fig. 1.28. Campo eléctrico de una carga puntual,
r
Con el resultado de la ecuación 1.14, se puede mostrar la equivalencia de la ley de Coulomb con la ley de Gauss. Para esto, se coloca una carga puntual q0, en un punto donde el campo eléctrico es E. La fuerza electrostática sobre la carga q0 tiene una magnitud dada por:
F = q0E =
K q q0 r2
Ec.1.15
PREGUNTA: ¿Cómo cambia el resultado si la carga q es negativa? Ejemplo 1.5: Una carga eléctrica positiva + Q se coloca en el centro de una caja cúbica. Evaluar el flujo de campo eléctrico a través de una de las tapas del cubo. Figura 1.26.
Solución: Usando la ley de Gauss, el flujo de campo eléctrico a través de todas las tapas del cubo, es:
Q neta ΦE = ε0 Fig. 1.26. Ejemplo 1.5
Como la carga Q está ubicada en el centro de la caja cúbica, el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan las seis tapas del cubo, es el mismo para cada una de ellas. Entonces el flujo de campo eléctrico a través, por ejemplo, de la tapa de la derecha es:
ΦE =
1Q 6 ε0
Ejemplo 1.6: Usando la Ley de Gauss, calcular el campo eléctrico de una distribuciónesférica de carga de densidad volumétrica de carga eléctrica constante. Solución: Se escoge una superficie cerrada, concéntrica con la distribución esférica de carga. Esa superficie cerrada, es una superficie esférica. Si la esfera cargada tiene radio R y la superficie gaussiana radio r, se presentan dos situaciones: r > R y r < R. Resolviendo para r > R, se utiliza el dibujo de la figura 1.29.Fig. 1.29. Ejemplo 1.6
La esfera con carga eléctrica positiva de radio R, con densidad volumétrica de carga constante ρ, tendrá una carga total Q. Sobre la superficie gaussiana de r r radio r, se han dibujado los vectores E y dA . Se utiliza la expresión para la ley de Gauss:
∫
r Q r E • dA = ε0 S
.
Resolviendo el producto punto entre vectores se obtiene:
∫
S
E dA cos(0 o )=
Q ε0
Como el campo eléctrico sobre la superficie gaussiana es constante (radial), sale de la integral.
E dA =
S
∫
Q ε0
La integral se obtiene:
∫ dA
S
es el área de la superficie esférica de radio r. Reemplazando
E (4 π r 2 ) =
Q ε0
Finalmente, despejando se obtiene el valor del campo eléctrico a una distancia r, medida desde el centro de la distribuciónvolumétrica de carga.
E=
Q KQ = 2 2 4 π ε0 r r
Este resultado es el mismo de una carga puntual. Significa que el campo eléctrico de una distribución esférica de carga de carga total Q, calculado a una distancia r mayor que el radio R de la esfera, es igual al de una carga puntual Q ubicada en el centro de la esfera. Resolviendo ahora para r < R, se utiliza el dibujo de la figura 1.30.
r Sobre...
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