Eden

La función de distribución normal
La v. a. continua X sigue la distribución Normal de parámetros μ y σ , y se escribe de
X ≡ N (μ , σ) si para cada

forma abreviada

x

x

P ( X ≤x)=∫ f (t).dt= ∫
−∞

μ

Siendo

−∞

x ∈ ℝ , la probabilidad P cumple
1

−

σ .√2 . π

.e

σ números reales, tal que

y

(t−μ )2
2 .σ 2

.dt

σ>0 . Y a la función

f (x)

se ledenomina función de densidad.
Recuerda que la función de densidad

f (x) cumple

f (x)≥0 ∀ x ∈ ℝ

1.-

+∞

∫

2.-

f ( x) . dx=1

−∞

Propiedades:
• La función

f (x)

suvalor máximo en

(

1

(μ , f (μ))= μ ,
• La función
cumple

σ . √ 2. π

f (x)

x=μ , es decir f alcanza el máximo en el punto

)

es simétrica respecto del punto

x=μ , es decir

∀x ∈ ℝ , se

f (μ – x)= f (μ+ x)

• Cuando x tiende a −∞ o

+∞ , f(x) tiende a cero

• La función es convexa en (−∞ ,μ−σ)∪(μ+σ ,+∞) y cóncava en (μ−σ , μ+σ)
Es decir, la función es de la formaTeniendo en cuenta que dependiendo delos valores de

μ

y de

σ , la gráfica de la

función estará mas desplazada hacia a un lado y más o menos comprimida, y por tanto más o
menos alta,siempre podemos utilizar la variable normal tipificada N(0,1), tipificado la variable
X ≡ N (μ , σ) a la variable Y ≡ N (0 ,1) mediante el cambio o tipificación de la variable
Y=
y para cada

X−μ
σ
y ∈ ℝ , la probabilidad P cumple
y

y

P (Y ≤ y)= ∫ f (t ) .dt= ∫
−∞

−∞

1

√2 . π

−

.e

t2
2

. dt
x

y cuya función de densidad

2

−
1
f  x =
.e 2
 2. la podemos representar gráficamente

como

Habitualmente calculamos esta probabilidad de forma aproximada mediante las la tabla
tabulada de la distribución N(0,1).
# Ejemplo.- Si lascalificaciones de los 500 alumnos de magisterio de Castilla la Mancha
presentados a un examen, se distribuye normalmente con media 6,5 y varianza 4.
para calcular la probabilidad de que un aspirante...