Edipo Rey

Número racional
En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente, de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.
Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.
En sentido estricto, número racional es elconjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico del dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.
Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero).
El conjunto de los números racionales se denota por , que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los númerosreales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.
Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente enlos números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales.

Contenido * 2 Construcción de los números racionales * 2.1 Definición de suma y multiplicación en Q * 2.2 Relaciones de equivalencia y orden en Q * 2.3 Notación * 3 Propiedades de los números racionales * 3.1 Propiedades de la suma y multiplicación * 3.2Existencia de neutros e inversos * 3.3 Equivalencias notables en Q * 3.4 Los números enteros en Q * 4 Otras notaciones de números en Q * 4.1 Fracciones mixtas * 4.2 El conjunto de los números decimales en Q * 5 Representación decimal de los números racionales |
Construcción de los números racionales
* Consideremos las parejas de números enteros donde .
* denota a . A se lellama numerador y a se le llama denominador
* Al conjunto de estos números se le denota por . Es decir
En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.
Definición desuma y multiplicación en Q
* Se define la suma
* Se define la multiplicación

Relaciones de equivalencia y orden en Q
* Se define la equivalencia cuando
* Los racionales positivos son todos los tales que
* Los racionales negativos son todos los tales que
* Se define el orden cuando
Notación
* Los números de tipo son denotados por
* Las sumas de tipo sondenotadas por
* denota a
* Todo número se denota simplemente por .
Propiedades de los números racionales
El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera forman un Cuerpo.
Propiedades de la suma y multiplicación
* La suma en Q es conmutativa, esto es:
* La suma en Q es asociativa, esto es:
* La multiplicación en Q es asociativa,esto es:
* La multiplicación se distribuye en la suma, esto es
Existencia de neutros e inversos
* Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.
* Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.
* Cada número racional: tiene un inverso...