EDO de primer orden y primer grado

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II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
2.1. DEFINICIÓN: Una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de Primer Orden y Primer Grado
es la que se puede expresar de la forma (notación):
𝑑𝑦
𝑑𝑥

= 𝑓 (𝑥, 𝑦)

ó 𝑦´ = 𝑓(𝑥, 𝑦) Forma Estándar

𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 Forma Diferencial
𝑑𝑦

𝑎1 (𝑥 ) 𝑑𝑥 + 𝑎0 (𝑥 )𝑦 = 𝑔(𝑥) Forma Polinómica con respecto a la Derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥

+ 𝑃(𝑥 )𝑦 = 𝑓 (𝑥 )ó 𝑦´ + 𝑃 (𝑥 )𝑦 = 𝑓(𝑥)

2.1.1. CLASIFICACIÓN DE LAS EDO DE 1 er ORDEN Y 1er GRADO
EDO DE Ier ORDEN Y Ier GRADO

Ecuaciones de
Variables Separables
𝑑𝑦
= 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)
𝑑𝑥

Ecuaciones con
Coeficientes Homogéneos
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
𝑡 𝑛 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥, 𝑦)
𝑡 𝑛 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦)

Ecuaciones
Exactas
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥

Ecuaciones
Lineales

𝑦´ + 𝑃(𝑥 )𝑦 = 𝑓(𝑥)

Ecuaciones de primer orden lineales
De variables separadas ó Ecuaciones separables
Son de la forma 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑦)𝑑𝑦 = 0. Son las más sencillas. Sólo tenemos que pasar al
otro lado del signo igual uno de los sumandos e integrar en los dos lados. Si tiene la forma ó
𝑑𝑦
𝑑𝑥

= 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦), es de variables separables, entonces la ecuación inicial se convierte en

variables separadas y sólo tenemos integrar para resolverlas.
 Ecuacioneshomogéneas
Son aquellas en las que 𝑦′ es una función homogénea de grado cero de 𝑥 e 𝑦 (es decir, el grado
de todos los términos es el mismo).
 Ecuaciones reducibles a homogéneas
Son aquellas que mediante un cambio de variable se convierten en homogéneas. Ecuaciones
de la forma:

𝑑𝑦
𝑑𝑥

𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶

= 𝐹 ( 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐 )

Profesor Alejandro Hernández Espino – Universidad Tecnológica de Panamá

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Diferenciales exactas
𝜕𝑀(𝑥,𝑦)
Dada la ecuación diferencial 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, si se cumple 𝜕𝑦 =
ecuación es una diferencial exacta.

𝜕𝑁(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥

la

 Reducibles a diferencial exacta
Se convierten a diferencial exacta haciendo una transformación. Aquí tenemos los Factores
de integración.
 Ecuación lineal
Son las ecuaciones de la forma 𝑦′ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)
 Ecuación de Bernoulli
Son las ecuaciones dela forma 𝑦′ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑛
 Ecuación de Riccati
Son del tipo 𝑦′ = 𝑃1 (𝑥) + 𝑃2 (𝑥)𝑦 + 𝑃3 (𝑥)𝑦 2
2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES.
 DEFINICIÓN: La EDO de Primer Orden de la forma

𝑑𝑦
𝑑𝑥

= 𝑔 (𝑥 )ℎ(𝑦) se llama de Variables

Separables o Separable.
 MÉTODO DE SOLUCIÓN: Estas EDO se resuelven separando las variables, es decir, escribir un
término de la ecuación en función dela variable "𝑦" y su diferencial 𝑑𝑦 y el otro en términos
de la variables "𝑥" y su diferencial 𝑑𝑥 y luego integramos cada lado con respecto a cada una de
sus variables y se obtiene una Familia Monoparamétrica de soluciones que casi siempre la
expresamos de manera implícita. No hay necesidad de utilizar 2 constantes arbitrarias cuando
resolvemos cada integral, pues,
∫ ℎ(𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥 ) 𝑑𝑥

𝐻(𝑦) +𝐶1 = 𝐺 (𝑥 ) + 𝐶2

(𝑦) = 𝐺 (𝑥) + 𝐶, con 𝐶 = 𝐶2 − 𝐶1

OBSERVACIONES:


Si 𝑔(𝑥 ) es una función continua en un intervalo I que contenga a 𝑥0 , por el Teorema
Fundamental del Cálculo:
𝑑 𝑥
∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑔(𝑥)
𝑑𝑥 𝑥0
𝑥

Esto quiere decir que ∫𝑥 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 es una “antiderivada” de la función 𝑔(𝑥).
0

Profesor Alejandro Hernández Espino – Universidad Tecnológica de Panamá

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Si 𝑔(𝑥) es una función continua en unintervalo I que contenga a 𝑥0 , la solución al Problema
𝑑𝑦
de Valor Inicial de la EDO 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥 ); 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 que se define en I:
𝑥

𝑦(𝑥 ) = 𝑦0 + ∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡
𝑥0



En ocasiones la constante arbitraria de la familia Monoparamétrica de soluciones de una
EDO se redefine para mayor comodidad: 𝑒 𝑥+𝑐 = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑐 = 𝐶𝑒 𝑥



Puede darse el caso que dos personas lleguen a dos expresiones distintas de la mismarespuesta al resolver en forma correcta el mismo problema:
arctan 𝑥 + arctan 𝑦 = 𝐶 o sea

𝑥+𝑦
1−𝑥𝑦

=𝐶

Ejemplos: Resolver las siguientes EDO
1. (1 + 𝑥 )𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0
2.

𝑑𝑦
𝑥
= − ; 𝑦(4) = −3
𝑑𝑥
𝑦

3.

𝑑𝑦
= 𝑦2 − 4
𝑑𝑥

4. (𝑒 2𝑦 − 𝑦)𝐶𝑜𝑠 𝑥

𝑑𝑦
= 𝑒 𝑦 𝑆𝑒𝑛 2𝑥; 𝑦(0) = 0
𝑑𝑥

PROBLEMAS DE PRACTICA: Zill D.; Cullens M. (2009). Ecuaciones Diferenciales con
problemas con valores en la frontera. Cengage...