edo diferenciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias
Definición 1. Dicho en foma sencilla es una ecuación que involucra derivadas. Ejemplos:

(1)

dy
= x + 5;
dx

(2)

d2 y
dy
+3
+ 2 y = 0;
2
dx
dx

(4) y + 2 (y )2 + y = cos( x )
(7)

(3) x y + y = 3;

(5) ( y )2 + ( y )3 + 3 y = x 2

∂2 z
∂2 z
+
= x2 + y
2
2
∂x
∂y

(6)

∂z
∂z
= z+x
∂x
∂y

(8) ( xy3 − 2 x4 ) dx + (cos( x) y − 2 x ) dy = 0

Definición 2. Cualquier relación libre de derivadas, que contega una o más de las variables y que sea consistente
con la ecuación diferencial, sera llamada una solución de la ecuación diferncial. En general es una relación entre
variables dependientes e independientes y es una solución de una o ecuación diferencial si satisface dicha ecuación en
el sentido ordinario decomprobación por sustitución directa. Por ejemplo, venfiquemos que
y = e2 x
es solución de

d2 y dy
+
−6y = 0
dx2 dx

En efecto, al sustituir
d2 y dy
− 6 y = 4 e2 x + 2 e2 x − 6 e2 x = 0
+
dx2 dx
Consideremos, ahora, la ecuación diferencial

(4 x3 − y3 ) dx + (2 y − 3 x y2 )dy = 0
(4 x3 − y3 ) dx + (2 y − 3 x y2 )dy = 0

(1)

x 4 − x y3 + y2 = C

(2)

y la relación
en dondeC es constante. Resolver la ecuación (2) para x o y, seguramente no es conveniente. Sin embargo,
diferenciando ambos miembros de (2) tenemos
4x3 dx − y3 dx − 3 x y2 dy + 2 y dy = 0,
la cual es solamente otra forma de escribir a (1).
Definición 3. Una ecuación que contenga derivadas parciales es llamada una ecuación diferencial parcial (EDP).
Ejemplos

(6)

∂z
∂z
= z+x ;
∂x
∂y

(7)1

∂2 z
∂2 z
+
= x2 + y
∂x2 ∂y2

Una ecuación que contenga derivadas ordinarias se le llama ecuación diferencial ordinaria (EDO). Ejemplos

(1)

dy
= x + 5;
dx

(2)

d2 y
dy
+
3
+ 2 y = 0;
dx
dx2

(4) y + 2 (y )2 + y = cos( x ) (5) (y )2 + (y )3 + 3 y = x2

(3) x y + y = 3;

(8) ( xy3 − 2 x4 ) dx + (cos( x ) y − 2 x ) dy = 0

Definición 4. El orden de una ecuacióndiferencial es el orden de la derivada de mayor en la ecuación. Ejemplo
d2 y
+2b
d x2

dy
dx

3

+y = 0

(3)

es una ecuación de orden dos, también se le llama “ecuación de segundo orden".
El grado de una ecuacion diferencial ordinaria es el grado algebraico de la derivada de más alto orden en la ecuación.
Ejemplo:
3
d2 y
d2 y d y 4
+ 2
− x7 y = cos( x )
dx
d x2
dx
es detercer grado, porque la segunda derivada es la de más alto orden y está elevada al cubo, por lo tanto es una
ecuación cúbica. En relación a la ecuación (3) es de grado uno.
Proposition 1. Cualquier ecuación de la forma
M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0

(4)

es una EDO de orden y grado uno.
Dem.-:
En efecto
M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0
pueede ser reescrita como
N ( x, y)

dy
+ M(x, y) = 0
dx

la cual es de orden y grado uno.
Observación 1. Es importante hacer notar que para la mayoría técnicas de solución las EDO de orden uno, será
conveniente expresarlas de la forma (4).

2

Ecuaciones diferenciales con variables separables:
Dada la EDO de la forma
M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0
a veces esta ecuación es tan sencilla que es posible expresarla de la forma
A(x ) dx + B(y) dy = 0
al integrar, se tiene que
A( x ) dx +

B(y) dy = C0

Ejemplo 1. Resolver la ecuación
2 (y + 3) dx − x y dy = 0
esta ecuación puede ser reescrita como:
2
y
2
3
dx =
dy ⇒ dx = (1 −
) dy ⇒ 2 ln | x | = y − 3 ln |y + 3| − 3 ln |C0 |.
x
y+3
x
y+3
lo que equivale a

e y = C0 x 2 ( y + 3 ) 3

Ejemplo 2. Resolver la ecuación

(1 + y2 ) dx + (1 + x2 ) dy = 0,con la "condición a la frontera" que cuando x = 0 ⇒ y = −1.
Solución: Esta ecuación puede ser reecrita como:
dx
dy
+
= 0 ⇒ arctan( x ) + arctan(y) = C
2
1+x
1 + y2
donde al usar la condición de frontera es fácil ver que
C=−

π
4

es decir que la solución es de la forma:
arctan( x ) + arctan(y) = −
lo que equivale a

π
x+y
⇒
= −1...
4
1−xy

e y = C0 x 2 ( y + 3 ) 3...