EDO NO HOMOGENEAS

Sergio Yansen Núñez
1.

Resuelva y ′′ + 5y ′ + 6y = e −2x sujeta a y0 = 1 ; y ′ 0 = 2

Solución:
Solución homogénea:
y ′′ + 5y ′ + 6y = 0
λ 2 + 5λ + 6 = 0
λ + 2λ + 3 = 0
λ = −2

∨

λ = −3

y h = ae −2x + be −3x
Solución particular:
y ′′ + 5y ′ + 6y = e −2x
D 2 + 5D + 6y = e −2x
D 2 + 5D + 6y = e −2x
D + 2D + 3y = e −2x

D+2

/

D + 2 2 D + 3y = 0
λ + 2 2 λ + 3 = 0
λ = −2(multiplicidad 2)

∨

λ = −3

y = Ae −2x + Bxe −2x + Ce −3x
como y h = ae −2x + be −3x entonces la forma de y p es:
y p = Bxe −2x
Derivando y p se obtiene:
y ′p = Be −2x − 2Bxe −2x
y ′′p = −4Be −2x + 4Bxe −2x
Reemplazando y p en y” + 5y ′ + 6y = e −2x se obtiene:
−4Be −2x + 4Bxe −2x + 5Be −2x − 2Bxe −2x  + 6Bxe −2x = e −2x
Be −2x = e −2x

EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes(Uso de anuladores)

Sergio Yansen Núñez
B=1
Luego, y p = xe −2x
Solución general:
y = yh + yp
y = ae −2x + be −3x + xe −2x
y0 = 1



1 = a+b

y ′ = −2ae −2x − 3be −3x + e −2x − 2xe −2x
y ′ 0 = 2



2 = −2a − 3b + 1

Resolviendo el sistema de ecuaciones:
a+b = 1
2a + 3b = −1
a=4

,

, se obtiene
b = −3

Luego, y = 4e −2x − 3e −3x + xe −2x

EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes(Uso de anuladores)

Sergio Yansen Núñez
2.

Resuelva y ′′ + y = 2 cosx sujeta a y0 = 0 ; y ′ 0 = 1

Solución:
Solución homogénea:
y ′′ + y = 0
λ2 + 1 = 0
λ = ±i
y h = a cosx + b sinx
Solución particular:
y ′′ + y = 2 cosx
D 2 + 1y = 2 cosx
D 2 + 1y = 2 cosx

/

D2 + 1

2
D 2 + 1 y = 0
2
λ 2 + 1 = 0

λ = ±i (multiplicidad 2)
y = A cosx + B sinx + Cx cosx + Dxsinx
como y h = a cosx + b sinx entonces la forma de y p es:
y p = Cx cosx + Dx sinx
Derivando y p se obtiene:
y ′p = Ccosx − x sinx + Dsinx + x cosx
y ′′p = C−2 sinx − x cosx + D2 cosx − x sinx
Reemplazando y p en y” + y = 2 cosx se obtiene:
C−2 sinx − x cosx + D2 cosx − x sinx + Cx cosx + Dx sinx = 2 cosx
−2C sinx + 2D cosx = 2 cosx
−2C = 0
C=0∧
∧

2D = 2
D=1

EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores)

Sergio Yansen Núñez
Luego, y p = x sinx
Solución general:
y = yh + yp
y = a cosx + b sinx + x sinx
y0 = 0



0=a

y = b sinx + x sinx
y ′ = b cos x + sin x + x cos x
y ′ 0 = 1



1=b

Luego, y = sinx + x sinx

EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores)Sergio Yansen Núñez
3.

Resuelva y ′′ − y = 2e x + 4xe x sujeta a y0 = 0 ; y ′ 0 = 0

Solución:
Solución homogénea:
y ′′ − y = 0
λ2 − 1 = 0
λ + 1λ − 1 = 0
λ = −1

∨

λ=1

y h = ae −x + be x
Solución particular:
y ′′ − y = 2e x + 4xe x
D 2 − 1y = 2e x + 4xe x
D + 1D − 1y = 2e x + 4xe x
D + 1D − 1y = 2e x + 4xe x

/

D − 1 2

D + 1D − 1 3 y = 2e x + 4xe x
λ + 1λ − 1 3 =0
λ = −1

∨

λ = 1 (multiplicidad 3)

y = Ae −x + Be x + Cxe x + Dx 2 e x
como y h = ae −x + be x entonces la forma de y p es:
y p = Cxe x + Dx 2 e x
Derivando y p se obtiene:
y ′p = Ce x + xe x  + D2xe x + x 2 e x 
y ′′p = C2e x + xe x  + D2e x + 4xe x + x 2 e x 
Reemplazando y p en y” − y = 2e x + 4xe x se obtiene:
C2e x + xe x  + D2e x + 4xe x + x 2 e x  − Cxe x + Dx 2 e x  = 2e x+ 4xe x
2e x C + D + 4Dxe x = 2e x + 4xe x

EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores)

Sergio Yansen Núñez
2C + D = 2

∧

D=1

2C + 1 = 2



4D = 4


C=0

Luego, y p = x 2 e x
Solución general:
y = yh + yp
y = ae −x + be x + x 2 e x Solution: a ′ e −x − ae −x + b ′ e x + be x + 2xe x + x 2 e x
y0 = 0



0 = a+b

y ′ = −ae −x + be x + 2xe x + x 2 e x
y′ 0 = 0



0 = −a + b

Resolviendo el sistema de ecuaciones:
a+b = 0
−a + b = 0
a=0

,

, se obtiene
b=0

Luego, y = x 2 e x

EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores)

Sergio Yansen Núñez
4.

Resuelva y ′′ − y ′ = 2 − 2x + e x sujeta a y0 = 0 ; y ′ 0 = 1

Solución:
Solución homogénea:
y ′′ − y ′ = 0
λ2 − λ = 0
λλ − 1 = 0
λ=0

∨

λ=1

y h = a + be...