EDOS

Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias

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Lecci´
on 1

Introducci´
on a las ecuaciones
diferenciales

1.1.

1.1.1.

Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingenier´ıa
Ley de enfriamiento de Newton

Ecuaciones diferenciales aparecen muy frecuentemente en los modelos matem´aticos que
su usan en las ciencias aplicadas y en la ingenier´ıa.

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Ecuaciones diferencialesordinarias
A modo de ejemplo consideremos la siguiente situaci´on:

Figura 1.1: Ley de Enfriamiento de Newton

Ejemplo 1.1 Supongamos que queremos conocer la
evoluci´on, a lo largo del tiempo, de la temperatura
de una barra met´alica que ha sido calentada hasta
una cierta temperatura y depositada en un habit´aculo
cerrado que se mantiene constantemente a una temperatura constante Ta tal ycomo muestra la Figura
1.1. Podemos pensar que la temperatura de dicho objeto depende de la diferencia de la temperatura del
propio objeto y la temperatura ambiente (la del habit´aculo). Si la barra de hierro est´a muy caliente y el
habit´aculo muy fr´ıo la p´erdida de calor de la barra
ser´a muy r´apida; si por el contrario las temperaturas
de la barra y del habit´aculo son casi iguales, labarra
perder´a calor muy lentamente.

Esto es lo que se deduce precisamente la ley de enfriamiento de Newton: Cuando la
diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, la
variaci´on en el tiempo del calor transferido hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducci´
on,
convecci´on y/o radiaci´on es aproximadamente proporcional a la diferencia detemperatura
entre el cuerpo y el medio externo y a la superficie del cuerpo. ¿C´omo podemos expresar esta
ley matem´aticamente?. Si Q(t) representa la cantidad de calor del objeto en el instante t
¿qu´e concepto matem´atico nos da una idea de la variaci´on del calor; es decir de la variaci´on
de la funci´on Q?. No es otro sino el de derivada. En efecto, sabemos que la derivada de
una funci´on en unpunto es la pendiente de la recta tangente en ese punto a la curva que
representa dicha funci´on. Si la pendiente es grande la funci´on crece muy r´apidamente, y si
es peque˜
na la funci´on apenas crece. As´ı pues, la derivada de una funci´on en un punto mide
la variaci´on de la funci´on en dicho punto y, aplicando esto a nuestro caso, la variaci´on de la
funci´on calor, Q(t), en cadainstante t es Q (t) = dQ
. La ley de enfriamiento de Newton se
dt
expresa, entonces, mediante la f´ormula
dQ
= αA(T − Ta )
dt
donde α es el coeficiente de transmisi´on (o intercambio) de calor y A el ´area del cuerpo.
Por otra parte, si se transfiere una peque˜
na cantidad de calor, dQ, entre un sistema
(en nuestro caso la barra de hierro) de masa m y su entorno y el sistema experimenta unapeque˜
na variaci´on de temperatura, dT , entonces se define la capacidad calor´ıfica espec´ıfica,
c, del sistema (tambi´en llamada calor espec´ıfico) como
c=

1 dQ
m dT

1.1 Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingenier´ıa

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o, equivalentemente,
dQ = mc dT.
As´ı pues
mc

dT
= αA(T − Ta ),
dt

o m´as simplificadamente:
dT
= k(T (t) − Ta )
dt
siendo k =

(1.1)αA
una constante asociada al material y superficie de que est´a hecha la barra.
mc

Vemos de esta forma que la variaci´on de la temperatura del objeto es directamente proporcional a la diferencia de las temperaturas del objeto y el medio ambiente; ley que concuerda
completamente con nuestra intuici´on y experiencia.
La ecuaci´on (1.1) es nuestro primer ejemplo de una ecuaci´ondiferencial: es una ecuaci´on
en la que aparece una funci´on inc´ognita T (t) y su derivada T (t). Aunque no es el caso de la
ecuaci´on (1.1), en las ecuaciones diferenciales tambi´en puede aparecer la variable independiente. As´ı pues, un ecuaci´on diferencial es una ecuaci´on que relaciona una funci´on, que es
la inc´ognita, la variable o variables independientes y la derivada o derivadas de la funci´...