Edp Caracteristicas

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUASILINEALES
´
PRIMER ORDEN, NOCIONES BASICAS
´
E. SAEZ

Una Ecuaci´on Diferencial Partial (E.D.P.) de Primer Orden, en dos variables, es
simplemente una expresi´on de la forma
∂z ∂z
E(x, y, z, , ) = 0
(1)
∂x ∂y
Ejemplos:
∂z
∂z
+ b ∂y
= 0 , a,b son constantes
a ∂x
∂z
∂z
x ∂x − ∂y = f (x, y) , f es una funci´on continua
Pregunta: ¿ Cu´al es la idea de unasoluci´on de una E.D.P. ?
Respuesta: Sea Ω ⊂ R2 un dominio y f : Ω → R con derivadas parciales continuas.
La funci´on f es una soluci´on de la E.D.P. (1) ssi se satisface la identidad
∂f
∂f
E(x, y, f (x, y),
(x, y),
(x, y)) ≡ 0 , en Ω
∂x
∂y
Geom´etricamente la identidad anterior significa , que la gr´afica de f que es una
superficie en R3 satisface la E.D.P. ¿ Como encontrar estas superficies ?. Para unaE.D.P cualesquiera esta pregunta es muy complicada. Sin embargo en algunos casos
muy particulares es posible dar respuesta a la pregunta.
Definici´
on : Sea Ω ⊂ R3 un domino . Una E.D.P. de Primer Orden de la forma
∂z
∂z
(2)
P (x, y, z)
+ Q(x, y, z)
= R(x, y, z) , P, Q, R ∈ C 1 (Ω)
∂x
∂y
se llama E.D.P. Cuasilineal de Primer Orden, donde las funciones coeficientes
P, Q no se anulan simultaneamentes enΩ.
La ecuaci´on (2) se llama Cuasilineal pues en general las funciones coeficientes
P, Q, R no necesariamente son transformaciones lineales en la tercera coordenada.
Departamento de Matem´
atica, UTFSM
e–mail: eduardo.saez@usm.cl.
1

´
E. SAEZ

2

La ecuaci´on (2) bajo un punto de vista vectorial, se puede escribir equivalentemente
ˆ del Espacio Vectorial R3 , como el Producto
en t´erminos de labase can´onica {ˆı,ˆ, k}
Punto:
ˆ · ( ∂z ˆı + ∂z ˆ − k)
ˆ =0
(Pˆı + Qˆ + Rk)
∂x
∂y
Consideremos el campo de vectores F : Ω → R3 , tal que,
(3)

ˆ
F (x, y, z) = P (x, y, z)ˆı + Q(x, y, z)ˆ + R(x, y, z)k.

Con el objeto de simplificar la escritura, equivalentemente el anterior campo de vectores se puede escribir simplemente F = (P, Q, R) en el entendido que el trio es un
vector.
Sea Ω un dominioen R3 , S una superficie en Ω que es la gr´afica de una funci´on
diferenciable de dos variables f : D → R tal que z = f (x, y) con D un dominio en R2 .
Entonces si se define E(x, y, z) = z − f (x, y) se tiene que S coincide con la gr´afica
del conjunto
E −1 (0) = {(x, y, z) | z − f (x, y) = 0}
La superficie S se puede entonces considerar como la superficie de nivel cero de la
funci´on E. Si S es unasuperficie regular que es soluci´on de (2) y consideramos el
∂z
∂z
gradiente ∇E = (− ∂x
, − ∂y
, 1) se tiene de inmediato la identidad
F · ∇E ≡ 0 , en E −1 (0)
Si se interpreta geom´etricamente la identidad anterior significa que la superficie
soluci´on S, tambi´en llamada Superficie Integral, es tangente al campo de vectores
F (ver Fig. 1).
∇E
E
R
F
•0

Fig. 1
Pregunta: ¿ Como encontrar superficiestangentes al campo de vectores F ?.

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES CUA . . .

3

Para responder la pregunta anterior recordemos la definici´on de o´rbita , o bien,
trayectoria de un campo de vectores.
Definici´on. Sea Ω un dominio en R3 y F : Ω → R3 un campo de vectores. Una curva
param´etrica r : I → Ω donde I es un subintervalo de R es una o´rbita (trayectoria)
del campo de vectores ssi sesatisface la identidad
dr(t)
≡ F (r(t)) , en I
dt

(4)

La definici´on anterior dice que una curva param´etrica tal que el vector tangente a la
curva coincide con el campo de vectores en cada punto, es una o´rbita (ver Fig. 2).

F

(
(r

)
t)

dr(t)
dt

r(t)

Fig. 2

Fig. 3, Superficie de o´rbitas

N´otese que si se tiene una superficie (ver Fig. 3) formada s´olo por o´rbitas del campo de
vectores entonceses inmediato que es una superficie tangente al campo de vectores
y en consecuencia es una soluci´on de la E.D.P (2). El problema para encontrar
Superficies Integrales se reduce a conseguir ´orbitas del campo de vectores.
La identidad (4), se puede escribir equivalentemente en t´ermino de las componentes
de los vectores, de donde se tiene la identidad:
(

dx dy dz
, , ) ≡ (P (x, y, z), Q(x, y,...