Edp12003

Cap´ıtulo 9

Ecuaciones en derivadas parciales
de primer orden
En este tema vamos a ofrecer una introducci´
on a las edp de primer orden, considerando la
clasificaci´on y la soluci´
on de algunos casos especiales de ecuaciones de este tipo. Veremos que
la resoluci´
on de este tipo de ecuaciones est´a estrechamente relacionada con la integraci´on de
ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales, engeneral no lineales.

9.1

Introducci´
on

De acuerdo con lo estudiado en el cap´ıtulo precedente, diremos que una edp de primer orden
para una funci´
on u definida en una regi´
on U de Rn es una relaci´on de la forma
F (x1 , x2 , . . . , xn , u, ux1 , ux2 , . . . , uxn ) = g(x1 , x2 , . . . , xn , u),

(9.1.1)

donde la posible existencia de t´erminos que dependen s´
olo de las variablesindependientes y de
la funci´
on u se ha separado, escribi´endola expl´ıcitamente como una funci´
on g(x1 , x2 , . . . , xn , u).
Obviamente se trata de un caso especial de la definici´on dada en (8.2.4).
Por lo que respecta a la interpretaci´
on gom´etrica de las soluciones de (8.2.4) o de (9.1.1),
dado que ser´
an funciones u(x1 , x2 , . . . , xn ), claramente podr´
an ser consideradas comohipersuperficies n–dimensionales en el espacio Rn+1 de las variables (x1 , x2 , . . . , xn , u), denominadas
superficies integrales (o hipersuperficies integrales) de la edp.
Particularizando algunas otras definiciones del tema anterior al caso que ahora no ocupa,
podemos ver que la forma general de una edp lineal de primer orden es
n

ak (x1 , . . . , xn )
k=1

∂u(x1 , . . . , xn )
= c(x1 , . . . , xn ) u(x1 , . . ., xn ) + d(x1 , . . . , xn ),
∂xk

(9.1.2)

y la forma m´as general de una edp de primer orden cuasilineal es
n

ak (x1 , . . . , xn , u)
k=1

∂u(x1 , . . . , xn )
= c(x1 , . . . , xn , u).
∂xk

(9.1.3)

Este tipo de ecuaciones aparecen en problemas de c´alculo variacional, en mec´
anica y en o´ptica
geom´etrica. La ecuaci´on es lineal respecto de las derivadas, pero puede ser no lineal respectoa la funci´
on inc´
ognita u.
15

16

Cap´ıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden

Ejercicio 1: clasificar las siguientes edp:
√
x1 − x2 (ux1 x1 )2 = 0.
a)
b) x1 ux2 − x2 ux1 = u.
c) x1 ux1 + eu x2 ux2 − x1 x2 u = 0.
d) (x21 + x22 + x23 )

∂3u
∂u
∂u
+ (cos x2 )
+
= 0.
3
∂x2 ∂x3
∂x1

e) ux uy = 1.
f ) x u = y u2y − (tan x)ux = 1.
g) u = x ux + yu + u2x + u2y + ux uy .
h) (y −z)ux + (z − x)uy + (x − y)uz = 0.
Aunque la teor´ıa que vamos a exponer inmediatamente se puede desarrollar exactamente
igual para un n´
umero cualquiera n de variables independientes, resulta mucho m´
as conveniente desde el punto de vista pedag´
ogico hacerlo de forma expl´ıcita para n = 2, ya que
esto permite mostrar de manera mucho m´as clara la interpretaci´
on geom´etrica de las edp de
primerorden y de sus soluciones. As´ı pues, en lo sucesivo trabajaremos casi siempre en el
caso bidimensional, con lo cual es mucho m´as c´omodo denominar a las dos variables independientes (x, y) en lugar de (x1 , x2 ). Adem´as se suele introducir la siguiente notaci´
on para
las derivadas primeras
∂u
∂u
:= p,
:= q,
(9.1.4)
∂x
∂y
nomenclatura a la que nos sumamos y con lo cual la edp m´
as general deprimer orden se
escribe en forma simb´olica as´ı:
F (x, y, u, p, q) = 0.
(9.1.5)
Ejercicio 2: clasificar las siguientes edp de primer orden y reescribirlas en
t´
erminos de las derivadas de la funci´
on inc´
ognita u(x, y):
a) x p + y q = 0.
b) x q 3 − y p = u.
c) (p + q + 1) u2 = 1.
d) (p2 + q 2 + 1) u2 = 1.
e) q + p2 = 0.
f ) x2 p + y 2 q = (x + y)u.
√
g) u2 p + u q = (x + y)u.
h) (y + ux) p − (x+ yu) q = x2 − y 2 .
Ejercicio 3: seleccionar aquellas ecuaciones del Ejercicio 1 que sean de primer
orden en con dos variables independientes y reescribirlas en t´
erminos de p y q.

9.2. El “problema de Cauchy” para las edp de primer orden

9.2

17

El “problema de Cauchy” para las edp de primer orden

Aunque est´
a fuera de nuestros objetivos una discusi´
on pormenorizada y rigurosa de...