EDPFisica_Canada

Páginas: 84 (20955 palabras) Publicado: 5 de octubre de 2015
Apuntes de Física Matemática
(Ecuaciones en Derivadas Parciales e
Integrales)
Licenciatura en Física

Antonio Cañada Villar
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

A. Ca˜
nada, Febrero 2010, EDPF´ISICA
´ Y MOTIVACION
´
CAP´
ITULO I: INTRODUCCION

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Aqu´ı podr´as encontrar los apartados siguientes: conocimientos previos necesarios
para seguir adecuadamente este cap´ıtulo,resumen del mismo con la bibliograf´ıa
recomendada y actividades complementarias. Al final aparece una relaci´
on de
ejercicios.
En la p´agina web
http://www.ugr.es/∼acanada/
encontrar´as informaci´on adicional sobre la asignatura (ex´amenes, enlaces a p´aginas
relacionadas, pr´acticas de ordenador, etc.)

CONOCIMIENTOS PREVIOS
1. Ley de Newton sobre el potencial gravitacional de distribuciones demasas
discretas y continuas.
2. Teorema fundamental del c´alculo y teorema de derivaci´
on de una integral param´etrica.
3. C´alculo de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coeficientes constantes.
Estos conocimientos se pueden consultar, por ejemplo, en las referencias siguientes:
1. T.M. Apostol. An´alisis Matem´atico. Revert´e, Barcelona, 1960.
2.I. Peral : Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales.Addison-Wesley,
Wilmington, 1995.
3. http://mathworld.wolfram.com/
4. http://scienceworld.wolfram.com/physics/

RESUMEN DEL CAP´
ITULO
El objetivo b´asico de este cap´ıtulo es que el alumno conozca el origen de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP), tanto en su relaci´on con otras disciplinas matem´aticas como en el importantepapel que juegan en las aplicaciones a diversas
materias, especialmente f´ısica e ingenier´ıa. Se pretende de manera especial que el
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A. Ca˜
nada, Febrero 2010, EDPF´ISICA

A. Ca˜
nada, Febrero 2010, EDPF´ISICA

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alumno reconozca adecuadamente los tres tipos b´asicos de EDP: la ecuaci´on de ondas, la ecuaci´on del calor y la ecuaci´on del potencial. Asimismo, el alumno debe
prestar una atenci´onespecial a los p´arrafos en letra negrita que le informan de
problemas que aparecen en f´ısica, ingenier´ıa, etc., relacionados con EDP.
El problema de la cuerda vibrante y la ecuaci´
on de ondas
El primer problema que presentamos en este cap´ıtulo es el problema de
la cuerda vibrante. Puede describirse de la siguiente forma: supongamos
que una cuerda flexible se estira hasta quedar tensa y quesus extremos
se fijan, por conveniencia, en los puntos (0, 0) y (π, 0) del eje de abscisas.
Entonces se tira de la cuerda hasta que ´
esta adopte la forma de una curva dada por la ecuaci´
on y = f (x) y se suelta. La cuesti´
on es: ¿Cu´
al es
el movimiento descrito por la cuerda? Si los desplazamientos de ´
esta se
hallan siempre en un mismo plano y el vector del desplazamiento es perpendicular, encualquier momento, al eje de abscisas, dicho movimiento
vendr´
a dado por una funci´
on u(x, t), donde u(x, t) representar´
a el desplazamiento vertical de la cuerda, en la coordenada x ( 0 ≤ x ≤ π ) y el
tiempo t (t ≥ 0). El problema que se plantea es obtener u(x, t) a partir de
f (x).
El primer matem´atico que elabor´o un modelo apropiado para el anterior problema
fue Jean Le Rond D’Alembert.Bajo diversas hip´otesis (referentes fundamentalmente
a que las vibraciones sean “peque˜
nas”), D’Alembert demostr´o en 1747 (Hist. de
l’Acad. de Berlin, 3, 1747, 214-219) que la funci´on u debe satisfacer las condiciones:
∂ 2 u(x, t)
∂t2

=

∂ 2 u(x, t)
,
∂x2

u(x, 0) = f (x),

0 < x < π, t > 0
0≤x≤π
(1)

∂u(x, 0)
∂t

= 0,

0≤x≤π

u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0
(1) es un problema de tipo mixto. Laprimera condici´on en (1) es una ecuaci´on
en derivadas parciales de segundo orden, conocida con el nombre de ecuaci´
on de
ondas. La segunda relaci´on representa la posici´on inicial de la cuerda, mientras que
la tercera significa que la velocidad inicial de la misma es cero. La u
´ltima relaci´on
expresa el hecho de que, para cualquier tiempo, la cuerda se mantiene fija en sus extremos. En...
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