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APUNTES SOBRE LA ELIPSE

1. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos
F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es elpunto (5, 0).
Solución:
Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que, y por tanto .



fig. 6.5.8.
De esta forma, losvértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y
V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por :

2. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por:
25x2 + 4y2 = 100Solución:
La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:
x 2 + y 2= 1 (porqué?)
4 25

La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origencuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.

De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se

encuentran localizadosen los puntos y .
Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).
La figura 6.5.9. recoge toda la información obtenida.



fig. 6.5.9.3. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación:
4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0

Solución:
La ecuación dada se puede escribir en las formasequivalentes:

(completación de cuadrado)
(factorización y simplificación)


(dividiendo por 4)

Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1),semiejes;
a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2 (ver fig. 6.5.10.).
Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1).
Como, se tiene que los focos están localizados en los puntos y .



fig. 6.5.10.
4. Propiedad Óptica de la Elipse
En geometría plana se demuestra el siguiente resultado: Si se tiene un...