Educacion

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´ ´ CAPITULO 1. ALGEBRA

1.1.2.

F´ rmulas bien formadas o

Ahora tenemos que construir este mini-lenguaje que hab´amos mencionado antes. Note que en el lenı guaje natural es muyimportante conocer la gram´ tica que son las reglas que nos permiten unir las palabras a de manera correcta y se puedan entender, por ejemplo esto evita decir que algo como “el perro gato piedra azul come”.Ahora bien estas ideas son formalizadas por el concepto de una f´ rmula bien formada (fbf) del o lenguaje. Definition 5. Los elementos del conjunto de f´ rmulas bien formadas es caracterizado por lassiguientes o propiedades: Toda variable booleana (P, Q, R, ...) es una fbf. Si A y B son f´ rmulas bien formadas, entonces tambi´ n lo son: (¬A), (A ∧ B), (A ∨ B), (A =⇒ B), (A ⇔ o e B). Suponiendo queP, Q, R son variables booleanas y B,C, D son fbf’s. Las siguientes son f´ rmulas bien o formadas: P ¬P ((¬P) ∧ B) ((¬P) ∧ B) =⇒ C)

1.1.3.

Ejercicio de C´ lculo proposicional a

Si latemperatura y la presi´ n de aire permanecieran constantes, no lloviese. La temperatura permanece o constante. Luego, Si llueve entonces la presi´ n de aire no permanece constante. o T : La temperatura delaire permanece constante. P: La presi´ n del aire permanece constante. o L: Llueve Lo que queremos hacer es ver que a partir de las suposiciones 1.1 y 1.2: (T ∧ P) =⇒ (¬L) T se puede concluir 1.3: (L =⇒(¬P)) (1.1) (1.2) (1.3)

Para eso, desarrollemos el siguiente c´ lculo proposicional tomando inicialmente la conjunci´ n de las a o suposiciones 1.1 y 1.2: (((T ∧ P) =⇒ ¬L) ∧ T ) esto, (por lacaracterizaci´ n de la implicaci´ n) es equivalente a: o o (((¬T ) ∨ (¬P)) ∨ ¬L) ∧ T por distributividad: otra vez distributividad :) ⇔ ((((¬T ) ∨ (¬P)) ∧ T ) ∨ (¬L ∧ T ) ⇔ ((¬T ∧ T ) ∨ (¬P ∧ T )) ∨ (¬L ∧T ) ⇔ (¬P ∧ T ) ∨ (¬L ∧ T )

observando que (¬A ∧ A) ⇔ F y que A ∨ F ⇔ A:

´ 1.1. LOGICA

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´ Utilizando distributividad otra vez, tenemos que lo ultimo es equivalente a: ((¬P ∨ ¬L) ∧ T )...