Educacion

1.5.2. Método gráfico para resolver modelos de programación lineal con solo dos variables.
En esta sección interesa hacer análogos geométricos, esto es, gráficas de funciones lineales que contiene el modelo matemático de programación lineal obtenido en la formulación del problema que se analiza. Dicho modelo puede contener expresiones tanto en forma de ecuaciones ( = ) como en desigualdades ( =), cada una de ellas corresponde a un gráfico en la analogía geométrica.
Primero considere la infinidad de puntos que constituyen en conjunto el plano y los cuatro cuadrantes convencionalmente aceptados, para dividirlo en zonas caracterizadas por la combinación de signo que se puede dar, a los valores medidos con números reales. Para lograr los cuadrantes en el plano se utilizan los ejescartesianos con escala de medición de valores de las variables del problema; por ejemplo, se puede asignar el eje horizontal de abscisas para la medición de valores de la variable X1; también se puede asignar el eje vertical de ordenadas, para la medición de valores de la variable X2. La localización de cualquier punto en este espacio plano requiere de una distancia horizontal (X1) y de una distanciavertical (X2) denotado como par ordenado o vector (X1, X2). Un punto sobre el eje X1 corresponde a X2=0 y un punto sobre el eje X2 corresponde a X1=0, que son las ecuaciones respectivas de los ejes horizontal y vertical. Dichos ejes se cruzan en el punto (X1, X2) = (0, 0), el cual se conoce como origen.
Si la ecuación tiene sólo dos variables, el gráfico de la misma sobre el plano es una línearecta, es decir, se requiere un espacio de dos dimensiones, la horizontal y la vertical, para graficar tal ecuación; pero la representación geométrica de una ecuación en tres variables, requiere un espacio de tres dimensiones. En tal caso, a los ejes X1 y X2, se les agrega un tercer eje X3 como tercera dimensión, que pasa por el origen hacia el observador. Los gráficos de la Figura 1-13 y Figura1-14 muestran lo anterior para una ecuación cualquiera:

Figura 1-13. Gráfico de una ecuación en dos dimensiones.

Figura 1-14. Gráfico de una ecuación en tres dimensiones.
El método gráfico proporciona la oportunidad de visualizar algunos de los conceptos importantes de la programación lineal. Pero tiene una gran limitación referente, a que sólo es posible aplicarlo en problemas muy pequeños; paraeste curso se limita el método gráfico aplicado a problemas con sólo dos variables. El método gráfico para resolver problemas que se han modelado con programación lineal consiste en asignar un eje cartesiano para cada una de las dos variables involucradas; de esta manera se asigna, por ejemplo, el eje horizontal como escala para los distintos valores que pueda tener la variable X1; también sepuede asignar el eje vertical con su respectiva escala para ubicar los distintos valores que puede tomar la variable X2. Un sistema con dos ejes cartesianos, horizontal y vertical, permite representar en un espacio plano las líneas rectas que geométricamente hablando representan cada expresión matemática lineal con sólo dos variables. Las restricciones y condiciones de signo del problema, representanal sistema que debe graficarse en un plano y después se valora en el mismo la función económica Z, con la cual se busca un punto del sistema que maximice o bien minimice su valor.
Para mejor comprensión del método gráfico de solución de problemas modelados con programación lineal, se presenta el siguiente ejemplo que se detalla lo suficiente para el voluntarioso estudiante de esta técnicapoderosa en su aplicación. Posteriormente se presentan otros ejemplos con el propósito de profundizar en la enseñanza e intentar mayor avance en el aprendizaje.
Ejemplo 1-12. Problema de combinar producción para máxima utilidad (QUIMCAR) [AND93].
QUIMCAR es una empresa que elabora varios productos químicos. En un proceso de producción en particular se utilizan tres recursos como materia prima de dos...