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Una característica de las fórmulas de Newton - Cotes es que la estimación de la integral se basa en valores igualmente espaciados de la función; por ejemplo, como se puede observar en la Figura 1,la regla del trapecio se basa en obtener el área bajo la línea recta que une los valores de la función, en los extremos del intervalo de integración. Debido a que la regla del trapecio necesita lospuntos extremos, existen casos como el de la Figura 1, donde la fórmula puede dar un error importante.
Por esa razón, se supondrá que se elimina la restricción de que los puntos estén igualmenteespaciados y que es posible evaluar el área bajo una línea recta que une dos puntos cualesquiera de la curva.Al ubicar esos puntos en forma conveniente, es posible definir una línea recta que equilibre loserrores negativos y positivos. De esta manera, como se muestra en la Figura 2, se obtiene una mejor estimación de la integral.


Las cuadraturas de Gauss - Legendre es el nombre de una clase detécnicas que aplica tal estrategia para obtener una aproximación más precisa de la integral. 
 
Cuadratura de Gauss - Legendre de dos puntos
El objetivo de la cuadratura de Gauss - Legendre esdeterminar las abscisas x1 y x2 y dos coeficientes w1 y w2de manera que la fórmula sea exacta para polinomios cúbicos de la forma f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x +a0.

Como hay que determinar cuatro números w1, w2,x1 y x2 en la expresión anterior, se deben seleccionar cuatro condiciones que deben cumplirse. Usando el hecho de que la integración es aditiva, será suficiente con exigir que la integral anteriorsea exacta para las cuatro funciones f(x) = 1, x, x2, x3. Por lo tanto, las cuatro condiciones de integración son:


 


De esta manera, el sistema de ecuaciones no lineales que se debe resolveres:


La solución del sistema anterior está dada por:

Así, se ha encontrado los nodos y los coeficientes o pesos con los que se construye la cuadratura de Gauss - Legendre. En consecuencia,...