edwin

ECUACION GENERALIZADA DE ESFUERZO H

5.1: Ecuación generalizada de esfuerzo de Hooke
La ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, establece la relación entre el alargamiento o estiramiento longitudinal y la fuerza aplicada.  La elasticidad es la propiedad física en la que los objetos con capaces de cambiar de forma cuando actúa una fuerza de deformación sobre un objeto.  El objeto tiene lacapacidad de regresar a su forma original cuado cesa la deformación.  Depende del tipo de material.  Los materiales pueden ser elásticos o inelásticos. Los materiales inelásticos no regresan a su forma natural. 
 La simetría de los tensores de tensión Q, y de deformaciones, E, hace que, de sus nueve componentes en un determinado sistema cartesiano, solo seis sean distintas. En consecuencia, y porrazones de economía en la escritura, es tradicional en ingeniería trabajar solo con las seis componentes distintas introduciendo los denominados vectores de tensión y de deformación. 

    Una propiedad interesante de dicha construcción es que el producto doblemente contraído de los tensores y de deformación ( Q : E) se transforma en el producto escalar ( en R6) de los vectores de tensión yde deformación: ({Q},{E})

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza  ejercida en el resorte con la elongación o alargamiento  producido:

donde  se llama constante elástica del resorte y  es su elongación o variación que experimenta su longitud.
La energía de deformación o energía potencialelástica  asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

Es importante notar que la  antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando  por la longitud total, y llamando alproducto  o  intrínseca, se tiene:

Llamaremos  a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas,  a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud  a la misma distancia y  al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza . Por la ley del muelle completo:

Tomando el límite:

que por elprincipio de superposición resulta:

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo , se obtiene como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:














5.2: APLICACIÓN A PROBLEMAS DE ELASTISIDAD
En la mecánica de sólidosdeformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidaspor ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lame-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas, se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.
De tal forma que ladeformación  es una cantidad adimensional, el modulo  se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo  (unidades pa, psi y ksi). El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido; en ciertos materiales no puede...