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Introducción
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.
Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema difícil en uno mas fácil, ¿no?).
A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de unaserie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas.
Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utilice un método (el de reducción, por ejemplo) y que, en el siguiente paso, se utilice otro método (el de igualación, por ejemplo).
Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, sesustituye esta incógnita por su solución para obtener así ecuaciones con menos incógnitas.
Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e indeterminados.
Estos mismos métodos también pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilización de cualquiera de ellosconduciría, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:

El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.
Método de reducción
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar aecuaciones con solo una incógnita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman.

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, seobtienen las ecuaciones

El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación

Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

Que es otra ecuación con una sola incógnita ycuya solución es   .

Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

Donde,, y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones (son expresiones algebraicas).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en, entonces la ecuación

Nocontendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos.
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.
Ejemplo
El sistema de ecuaciones

Es equivalente aeste otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es   .
Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

Que es una ecuación con una solaincógnita y cuya solución es   .

Método de sustitución
Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.
Aquí     y     son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema....