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4. Análisis frecuencial de sistemas de control

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4. Análisis frecuencial de sistemas de control
En el presente capítulo se describirá la metodología de análisis basada en la respuesta frecuencial de
un sistema de control. Dicha metodología requiere el conocimiento de la respuesta frecuencial del
sistema en lazo abierto (que puede obtenerse de un modo sencillo a partir de medidas de larespuesta
en régimen permanente senoidal) para, posteriormente, aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist,
que permitirá determinar la estabilidad absoluta del sistema en lazo cerrado.
Los márgenes de fase y ganancia pueden considerarse extensiones del criterio de estabilidad de
Nyquist y permiten determinar la estabilidad relativa de un sistema de control.
Por último, en este tema se expondránaquellas características a tener en cuenta para desarrollar el
análisis de un sistema de control en tiempo discreto a partir de su respuesta frecuencial.

4.1 Respuesta frecuencial de sistemas de tiempo continuo
Dado el sistema de tiempo continuo de la figura 4.1:

E(s)

C(s)

G(s)

Fig. 4.1 Sistema de tiempo continuo

donde: E( s) = L[ sen(ωt )] =

(s

ω
2

+ω

2

)

=

ω

( s − jω) ⋅ ( s + jω)

En elsistema definido, se obtiene el régimen permanente senoidal (RPS) considerando la respuesta
del sistema estable cuando el tiempo tiende a infinito y se posee una señal de entrada senoidal.
C( s) =

G ( s) ⋅ ω

(4.1)

( s + jω) ⋅ ( s − jω)

Para obtener la antitransformada de Laplace debe desarrollarse C(s) en fracciones parciales.
C( s) =

k1

+

k2

( s + jω) ( s − jω)

+ Cg ( s)

(4.2)

© losautores, 1998; © Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas en las
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Teoría de control. Diseño electrónico

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Los dos primeros términos del desarrollo son originados por las raíces de la transformada de Laplace
de la señal senoidal de entrada, mientras que Cg(s) contiene la serie de términos correspondientes al
desarrollo en fracciones parcialesde los polos de G(s). El RPS únicamente existe en sistemas estables,
dado que ello implica que los términos temporales que caracterizan la respuesta transitoria del sistema
desaparecen cuando el tiempo crece suficientemente:
−1

L

[Cg(s)] = cg( t ) → 0 cuando t → ∞ .

Denominando Css(s) a la transformada de Laplace de la señal que perdura cuando el tiempo crezca
infinitamente (estadoestacionario):
Css( s) =

k1

k2

+

(4.3)

( s + jω) ( s − jω)

Cálculo de los residuos:
k 1 = C( s) ⋅ ( s + jω)

s=− jω

=−

G( − jω)
2j

k2 =

;

G ( jω)

(4.4)

2j

Debe observarse que: G( jω) = G ( s) s= jω es la respuesta frecuencial del sistema de tiempo continuo,
esto es, debe evaluarse la función de transferencia en un punto del plano S ubicado sobre el eje
imaginario.
A partir de la descripción delprocedimiento de cálculo puede indicarse que G( jω) es una función de
variable compleja, y verifica:
G( jω) = G( jω) ⋅ e

j∠ G ( jω)

G( − jω) = G( − jω) ⋅ e

j∠ G ( − jω)

(4.5)
= G( jω) ⋅ e

− j∠ G ( jω)

(4.6)

Realizando la antitransformada de la ecuación de Css(s), se obtiene:

(

Css( t ) = k1 ⋅ e

− jωt

) + k 2 ⋅ ( e jωt )

(4.7)

Sustituyendo las expresiones de los residuos k1 y k2:
 j(ωt +∠G ( jω) )
− j( ωt +∠G ( jω) )
−e
e
Css( t ) = G( jω) ⋅

2j




G( jω) ⋅ sen ωt + ∠G ( jω)
=


(

)

(4.8)

En conclusión, la respuesta de un sistema de tiempo continuo en RPS es una señal senoidal con igual
frecuencia que la señal de entrada, con una amplitud igual al producto de la amplitud de entrada por el

© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

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