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Páginas: 5 (1029 palabras)
Publicado: 8 de junio de 2014
Problemario – Distribución Normal.
1. Una fábrica produce pistones cuyos diámetros se encuentran adecuadamente clasificados
por una distribución normal con un diámetro promedio de 5 cm y una desviación
estándar igual a 0.001 cm. Para que el pistón sirva, su diámetro debe encontrarse entre
4.998 y 5.002 cm. Si el diámetro del pistón es menor que 4.998 se desecha; si es mayor
que 5.002 elpistón puede reprocesarse. ¿Qué porcentaje de pistones servirá? ¿Qué
porcentaje será desechado? ¿Qué porcentaje será reprocesado?
Solución.
Iniciamos la resolución del problema partiendo de los datos del problema = 5cm y =
0.001cm. En el inciso a, se nos pide el porcentaje de pistones que servirá, es decir:
(
); para el caso del inciso b que implica el porcentaje que será
desechado:(
); finalmente el porcentaje de que sea reprocesado se plantea
como: (
). Primero se determina la variable estandarizada Z con la expresión:
y con ayuda de la tabla de áreas de la curva normal estándar, se definen los
resultados siguientes comenzando por las probabilidades de los incisos b y c ya que serán
requeridos en el inciso a:
b) (
c)
)
(
(
)
)
(
()
(
)
será desechado.
)
(
)
será reprocesado.
a) (
)
(
)
(
)
servirá.
En el inciso a, para determinar el porcentaje de pistones que servirá, se toma la
probabilidad total 1 y se restan las probabilidades de que se desechen y de que se
reprocesen. La Figura 1 muestra una gráfica de cómo quedarían las distribuciones y sus
áreas respectivas a partir delos valores de Z.
Figura 1. Gráfica de Distribución Normal del problema 1.
Solución en Excel.
Para resolver el problema y de alguna forma cotejar los resultados con los obtenidos de
forma analítica, se empleó la fórmula de Excel DISTR.NORM.N la cual requiere 4
parámetros que son: X, Media, Desviación Estándar, Valor Lógico. Por ejemplo, para
determinar al inciso b se utilizó:DISTR.NORM.N(4.998,5,0.001,VERDADERO). El
parámetro VERDADERO indica que será una distribución acumulada. De forma similar
para el inciso a y c.
Cabe mencionar, que también existe otra fórmula cuya diferencia en relación a la anterior
es que se enfoca directamente al valor de Z, la fórmula es: DISTR.NORM.ESTAND.N la
cual requiere 2 parámetros que son: Z, Valor Lógico. Por ejemplo, para determinar elinciso b se utilizó DISTR.NORM.ESTAND.N(-2,VERDADERO).
De esta forma se comprobaron ambos procedimientos teniendo los mismos resultados
como se muestra en la Figura 2.
Figura 2. Solución en Excel del problema 1.
2. La demanda mensual de cierto producto A tiene una distribución normal con una media
de 200 unidades y desviación estándar igual a 40 unidades. La demanda de otro producto
Btambién tiene una distribución normal con media de 500 unidades y desviación
estándar igual a 80 unidades. Un comerciante que vende estos productos tiene en su
almacén 280 unidades de A y 650 de B al comienzo de un mes, ¿cuál es la probabilidad de
que, en el mes, se vendan todas las unidades de ambos productos? Puede suponerse
independencia entre ambos eventos.
Solución.
Tomamos de iniciolos datos del problema
,
,
,
.
Consideramos que el comerciante cuenta con 280 y 650 unidades de producto A y B,
respectivamente. Entonces el planteamiento sería el de:
(
)y
(
).
Resolviendo para valores estandarizados de Z, tenemos:
(
)
(
(
)
(
Nota: en el cálculo de
(
)
)
(
)
)
(
(
)
)
(
)
, se calculó enbase al promedio de
valores entre 1.87 y 1.88 de la tabla de distribución normal estándar.
Hasta aquí se han determinado cada una de las probabilidades de que se vendan los
productos de separada, pero como el problema pide determinar la probabilidad de que se
vendan TODAS las unidades y supone interdependencia entre ambos eventos,
planteamos la intersección de los dos eventos y por lo...
1. Una fábrica produce pistones cuyos diámetros se encuentran adecuadamente clasificados
por una distribución normal con un diámetro promedio de 5 cm y una desviación
estándar igual a 0.001 cm. Para que el pistón sirva, su diámetro debe encontrarse entre
4.998 y 5.002 cm. Si el diámetro del pistón es menor que 4.998 se desecha; si es mayor
que 5.002 elpistón puede reprocesarse. ¿Qué porcentaje de pistones servirá? ¿Qué
porcentaje será desechado? ¿Qué porcentaje será reprocesado?
Solución.
Iniciamos la resolución del problema partiendo de los datos del problema = 5cm y =
0.001cm. En el inciso a, se nos pide el porcentaje de pistones que servirá, es decir:
(
); para el caso del inciso b que implica el porcentaje que será
desechado:(
); finalmente el porcentaje de que sea reprocesado se plantea
como: (
). Primero se determina la variable estandarizada Z con la expresión:
y con ayuda de la tabla de áreas de la curva normal estándar, se definen los
resultados siguientes comenzando por las probabilidades de los incisos b y c ya que serán
requeridos en el inciso a:
b) (
c)
)
(
(
)
)
(
()
(
)
será desechado.
)
(
)
será reprocesado.
a) (
)
(
)
(
)
servirá.
En el inciso a, para determinar el porcentaje de pistones que servirá, se toma la
probabilidad total 1 y se restan las probabilidades de que se desechen y de que se
reprocesen. La Figura 1 muestra una gráfica de cómo quedarían las distribuciones y sus
áreas respectivas a partir delos valores de Z.
Figura 1. Gráfica de Distribución Normal del problema 1.
Solución en Excel.
Para resolver el problema y de alguna forma cotejar los resultados con los obtenidos de
forma analítica, se empleó la fórmula de Excel DISTR.NORM.N la cual requiere 4
parámetros que son: X, Media, Desviación Estándar, Valor Lógico. Por ejemplo, para
determinar al inciso b se utilizó:DISTR.NORM.N(4.998,5,0.001,VERDADERO). El
parámetro VERDADERO indica que será una distribución acumulada. De forma similar
para el inciso a y c.
Cabe mencionar, que también existe otra fórmula cuya diferencia en relación a la anterior
es que se enfoca directamente al valor de Z, la fórmula es: DISTR.NORM.ESTAND.N la
cual requiere 2 parámetros que son: Z, Valor Lógico. Por ejemplo, para determinar elinciso b se utilizó DISTR.NORM.ESTAND.N(-2,VERDADERO).
De esta forma se comprobaron ambos procedimientos teniendo los mismos resultados
como se muestra en la Figura 2.
Figura 2. Solución en Excel del problema 1.
2. La demanda mensual de cierto producto A tiene una distribución normal con una media
de 200 unidades y desviación estándar igual a 40 unidades. La demanda de otro producto
Btambién tiene una distribución normal con media de 500 unidades y desviación
estándar igual a 80 unidades. Un comerciante que vende estos productos tiene en su
almacén 280 unidades de A y 650 de B al comienzo de un mes, ¿cuál es la probabilidad de
que, en el mes, se vendan todas las unidades de ambos productos? Puede suponerse
independencia entre ambos eventos.
Solución.
Tomamos de iniciolos datos del problema
,
,
,
.
Consideramos que el comerciante cuenta con 280 y 650 unidades de producto A y B,
respectivamente. Entonces el planteamiento sería el de:
(
)y
(
).
Resolviendo para valores estandarizados de Z, tenemos:
(
)
(
(
)
(
Nota: en el cálculo de
(
)
)
(
)
)
(
(
)
)
(
)
, se calculó enbase al promedio de
valores entre 1.87 y 1.88 de la tabla de distribución normal estándar.
Hasta aquí se han determinado cada una de las probabilidades de que se vendan los
productos de separada, pero como el problema pide determinar la probabilidad de que se
vendan TODAS las unidades y supone interdependencia entre ambos eventos,
planteamos la intersección de los dos eventos y por lo...
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