Efecto stark con variables de acción ángulo
Printed 22 June 2011
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Principios de F´ ısica Semicl´sica Tarea 2 a
D.Nore˜a1 n 1
Instituto de F´ ısica, Universidad deAntioquia
Junio 2011
ABSTRACT
Segunda tarea del curso de f´ ısica semicl´sica. a 1)Efecto Stark en coordenadas parab´licas o 2)Teor´ de perturbaciones ıa Key words: Variables acci´n-´ngulo,oscilador arm´nico, acci´n, hamiltoniano, o a o o transfomaciones can´nicas, diagrama de fase. o
1
EFECTO STARK DE TRES GRADOS DE LIBERTAD
Igualando a cero y tomando en cuenta que pφ esconstante: 2ξ ∂S ∂ξ
2
Para coordenadas polares parab´licas, el hamiltoniano de la o part´ ıcula libre est´ dado por (Landau & Lifschitz 1976): a
2 2 p2 2 ηpξ + ηpη φ H(ξ, η, φ, pξ , pη , pφ ) = + m ξ+η2mξη
− mEξ +
p2 φ + 2η 2ξ
∂S ∂η
2
− mEη +
p2 φ + 2η (6)
(1)
1 mE(ξ 2 − η 2 ) = 0 2
Para una part´ ıcula en presencia de una campo externo cuya energ´ de interacci´n es U ,el hamiltoniano es ıa o H=
2 2 p2 2 ηpξ + ηpη φ + + U (ξ, η, φ) m ξ+η 2mξη
La ecuaci´n anterior es claramente separable, por tanto, se o toma: S = pφ φ + S1 (ξ) + S2 (η) (7)
(2)
Para elefecto Stark, el campo corresponde a un campo el´ctrico constante aplicado en direcci´n +z, permitiendo e o escribir U como: 1 U (ξ, η, φ) = U (ψ, η) = Ez = (ξ − η) (3) 2 La ecuaci´n de Hamilton-Jacobi encoordenadas parab´licas o o es entonces: 2 ξ m(ξ + η) 1 2mξη ∂S ∂φ
2
Si β es una constante, entonces, al introducir (7) en (6), se obtiene: 2ξ ∂S1 ∂ξ ∂S2 ∂η
2
− mEξ +
2
p2 1 φ + mEξ 2 = β2ξ 2 p2 1 φ − mEη 2 = −β 2η 2
(8)
2η
− mEη +
(9)
Despejando, se encuentra que ∂S1 ∂ξ
2
∂S ∂ξ +
2
+η
∂S ∂η
2
+
=
2
p2 1 1 β φ mE − 2 − mEξ + 2 4ξ 4 2ξ p2 1 1 βφ mE − 2 + mEη − 2 4η 4 2η
(10)
E (ξ − η) = E 2
(4)
∂S2 ∂η
=
(11)
Donde E es la energ´ total. Dado que la coordenada φ es ıa c´ ıclica, entonces ∂S = pφ = cte ∂φ Ahora, para...
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