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CALCULO MATEMATICO
DETERMINANTES
ALGEBRA LINEAL
Determinantes
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas


Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede hacer un determinante. Cogemos los coeficientes de los términos de ambas ecuaciones y los situamos en dos filas uno sobre el otro: 210 sobre -1  3 - 7.
El determinante general D está formado por loscoeficientes del primer miembro, esto es, 21 y -13 (rectángulos en color rosa y azul).
Para calcularlo multiplicamos de forma cruzada 2 × 3 igual a seis menos -1 × 1 igual a siete en total. 

Las coordenadas del punto en x van a ser el cociente entre el determinante de x entre el determinante general hallado anteriormente:
El determinante de x lo obtenemos sustituyendo en la columna rosa lacolumna amarilla. Multiplicamos de forma cruzada, 0 × 3 - 1 x -7, tenemos que -1 por -7 es igual a siete. Este valor dividido entre el del determinante general nos da la coordenada en x, que vale uno

Las coordenadas del punto y van a ser el cociente entre el determinante de y y entre el determinante general:
sustituyendo la columna azul correspondiente a la variable por la amarilla ymultiplicando de forma cruzada tenemos que 2 por -7 es -14 menos -1 × 0 es 0, en total -14 punto dividido entre el determinante general que era siete tenemos que el coeficiente y vale -2.
Las coordenadas del punto son por tanto 1, -2, este punto satisface ambas ecuaciones, con lo cual si tenemos que esas ecuaciones corresponden a dos rectas, el punto es el de intersección de ambas rectas.Determinante correspondiente a las tres ecuaciones

Para calcular el determinante correspondiente a las tres ecuaciones que aparecen en el cuadro amarillo, escribimos los coeficientes de los términos de la ecuación alineados en tres filas, tal y como aparece en el determinante principal en la parte superior, a continuación volvemos escribir las dos primeras columnas. Para calcularlo multiplicamos deforma cruzada y en diagonal -conforme a las líneas verdes- de la siguiente forma: -1 × 2 × 1 es -2                  más -2 por -1 × 2 es +4,       más   2 × 1 por -1 es- 2.
Todo esto lo metemos dentro de un paréntesis y le restamos las diagonales violetas en el otro sentido: -2 × -2 x1 es igual a cuatro,            -1 por -1 por -1 es -1,           2 × 2 × 2 es 8.
Siempre debemos tomar lasdiagonales en un sentido escogiendo tres términos y luego restar la suma de las otras tres en el otro sentido. El procedimiento para calcular este determinante se va a aplicar igual en todos los demás, por lo que ya no se repite el procedimiento a continuación.

Para calcular cada determinante correspondiente a las variables repetimos las tres columnas del determinante principal pero cambiamos lacolumna de la x  por los coeficientes del segundo miembro (9, -2,8) de las tres ecuaciones,  cuando hacemos el determinante de x, lo mismo haremos con el determinante de y, cambiamos su columna por  los coeficientes del segundo miembro.
Para la cuarta y quinta columna cogemos para las variables x e y las dos primeras columnas de los determinantes,  para la variable z hacemos exactamente lo mismo,cogemos las dos primeras columnas, con la salvedad de que ninguna de estas dos columnas había sido sustituida en el caso de la variable z por el segundo miembro de las ecuaciones, por lo que la cuarta y quinta columna de la variable z aparece idéntica a la primera y segunda en su determinante.
Una vez que hemos calculado el valor de estos cuatro determinantes, para calcular lo que vale cada una delas variables dividimos el determinante de cada variable por el determinante general, obteniendo las coordenadas del punto de intersección, que en este caso es 2, 1,6.


En la figura vemos la resolución gráfica al ejercicio anterior,  de los planos obtenemos sus ecuaciones segmentarias al dividir todos los términos de la izquierda de cada una de las ecuaciones por el miembro de la derecha,...