EI04_Lectura

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Sesión No. 4
Nombre: Distribuciones de probabilidad para variables
Contextualización
En la sesión anterior se definió el concepto de variable aleatoria como una
función que relaciona con un número real a cada elemento del espacio muestral
asociado a un experimento. Asimismo, se definió el concepto de distribución de
probabilidad como laasignación de probabilidades a cada posible valor de una
variable aleatoria. Se destacó la particularidad de que, sobre diferentes
experimentos no relacionados entre sí, es posible definir variables aleatorias
cuyo comportamiento sea explicado por un mismo modelo de distribución de
probabilidad.

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Introducción al Tema

En base a las necesidades que se han tenido en las áreas dela mercadotecnia,
la publicidad, estadística, matemáticas, la vida cotidiana y muchas mas, se han
desarrollado modelos generales de distribuciones de probabilidad entre los que
pueden destacarse las distribuciones binomial, hipergeométrica y de Poisson.
Son estas dos últimas las que estudiaremos en la presente sesión, y alguna de
las funciones con las que cumple o los elementos que puede abarcarpara
cumplir con los aspectos que se deseen satisfacer.

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Explicación
Distribución hipergeométrica
Al realizar el muestreo de una población finita en el que se ha definido qué se
entenderá por éxitos o por fracasos —por ejemplo, las respuestas de personas
respecto a un cierto candidato político, las preferencias relativas a ciertos
productos o un conjunto finito deobservaciones de un lote que contiene
productos normales y productos defectuosos—, los supuestos de un
experimento binomial se cumplen puntualmente si cada elemento obtenido en la
muestra se vuelve a incorporar a la población antes de obtener una nueva
muestra para una nueva observación. Este tipo de muestreo se conoce como
muestreo con reemplazo. No obstante, en la práctica suele emplearse el
muestreosin reemplazo.

Caracterización de una variable aleatoria con distribución
hipergeométrica
Se tiene un conjunto de N elementos, en donde r se consideran fracasos y (N – r)

Definimos la variable aleatoria X como el número de fracasos encontrados en la
muestra. Entonces, dado que X=k si y sólo si se obtienen en la muestra
exactamente k fracasos (de los r fracasos del conjunto total) y exactamente(n–k)
éxitos (de los N–r éxitos del conjunto total), se tiene que:

P(X=k)=

, k= 0, 1, 2,…

En donde
• N = Número total de elementos.

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• r = Número de fracasos en el conjunto total.
• n = Número de elementos de la muestra extraída del conjunto total.
• k = Número de fracasos encontrados en la muestra.

La expresión anterior corresponde a una variable aleatoria condistribución de
probabilidad hipergeométrica.

Ejemplo

Supóngase que se tiene un lote de 15 productos, de los cuales se extraen al
azar cinco para su revisión. Si en el lote total existen siete productos defectuosos,
cal- cular la probabilidad de que en la muestra extraída se encuentren tres
productos defectuosos. En el ejemplo se observa que un producto defectuoso
corresponde a la categoría fracasoy, de forma complementaria, un producto
normal se considera éxito. Asimismo, se tiene que:

• N = 15
• r=7
• n=5
• k=3

Entonces, se debe calcular P(X= 3), lo cual se obtiene al sustituir los valores
anteriores en la fórmula de la distribución hipergeométrica:

P(X=3)=

P(X=3)=

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P(X=3)=

= 0.32634

P(X=3)=

= 32.63%

Aunque la distribución de probabilidadhipergeométrica es de uso frecuente en
estudios de control de calidad, tiene un amplio campo de aplicación en ciencias
exactas, sociales, de la comunicación, administrativas y en estudios de mercado.
Entre otros fenómenos, permite estudiar:
• Preferencias electorales de los votantes.
• Preferencias de los consumidores ante ciertos productos.
• Proporción de personas que padecen una cierta enfermedad....