eigen valores

Eigenvalores y eigenvectores
• Los dos problemas principales del álgebra lineal son: resolver sistemas lineales de
la forma Ax = b y resolver el problema de eigenvalores.
• En general, una matriz actúa sobre un vector cambiando tanto su magnitud como
su dirección. Sin embargo, una matriz puede actuar sobre ciertos vectores
cambiando solamente su magnitud.
• Una función vectorial A es linealsi:
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(αx) = αAx
donde x y y son vectores y α es escalar.
•

Definición.- Dada una transformación lineal A, un vector e ≠ 0 es un eigenvector
de A si satisface la ecuación:
Ae = λe
para algún escalar λ, llamado un eigenvalor de A correspondiente al eigenvector e.

•

Un eigenvalor λ y un eigenvector ē de una matriz cuadrada [A]
satisfacen la ecuación:
Aē =λē
o de forma equivalente: (A – λI)ē = Ō

•

Cualquier múltiplo escalar, cē, también satisface la ecuación. En
consecuencia, para definirlos con precisión es usual requerir que los
eigenvectores tengan longitud unitaria:
|| ē || = [∑ek2]½ = 1

•

En este caso, si ē satisface la ecuación, entonces -ē también la
satisface.

•

Si además [A] es simétrica entonces los eigenvectores sonortogonales. Por lo tanto, los eigenvectores serán ortonormales:

• La multiplicidad algebraica (m.a.) es el número de veces que se repite un
eigenvalor (o el número de veces que se repite una raíz de la ecuación
característica) y la multiplicidad geométrica (m.g.) es el número de
eigenvectores linealmente independientes asociados a un eigenvalor
particular.
• Para cada eigenvalordistinto de una matriz n x n existe un eigenvector
asociado a él, e.d., ambas multiplicidades son iguales a 1. Si la multiplicidad
algebráica de un eigenvalor es r puede haber a lo más r eigenvectores l.i.
asociados a él.
• Los eigenvectores correspondientes a eigenvalores distintos son linealmente
independientes y forman una base para Rn.
• Si A es una matriz de n x n simétrica, entonces suseigenvalores son reales.
• Si A es una matriz de n x n simétrica y positiva definida, entonces sus
eigenvalores son reales y mayores que cero.
• Una matriz A es ortogonal si es cuadrada con elementos reales y sus
columnas y renglones son vectores ortogonales unitarios. Si A es ortogonal
entonces su transpuesta es igual a su inversa.

•

Si A es una matriz de K x K y es no-singular, habrá Kparejas λK, ēK con
eigenvalores distintos de cero. Si A es singular al menos uno de sus eigenvalores
será cero y el eigenvector correspondiente será arbitrario.

•

Dada una matriz simétrica A, la matriz E cuyas columnas son los eigenvectores de
A es ortogonal:
ET = E-1 , EET = ETE = I

•

La transformación ortogonal ETx define una rotación rígida de los ejes
coordenados en el espacioK-dimensional de x, llamado un eigenespacio.

•

Este espacio cubre el mismo “territorio” que las coordenadas originales pero
usando un conjunto de ejes diferente.

•

Las K parejas λK, ēK contienen la misma información que la matriz [A] a partir de
la cual fueron calculadas y por lo tanto pueden considerarse como una
transformación de [A].

•

Esta equivalencia puede expresarsecomo la descomposición espectral (o
descomposición de Jordan) de [A], donde [A] es simétrica:

•

La matriz original [A] puede recuperarse mediante la suma pesada de estas
matrices
, donde los pesos son los eigenvalores correspondientes. La
descomposición espectral de una matriz es análoga a la descomposición de
Fourier de una función o serie de datos, con los eigenvalores jugando elpapel de las amplitudes de Fourier y las matrices
el de las funciones
senoidales.
f(x) = a0 + ∑an cos(nx) + ∑bn sen(nx)

•

La matriz de eigenvectores [E] tiene la propiedad de que diagonaliza la
matriz simétrica original [A]: (también se cumple si A no es simétrica pero
tiene K eigenvectores l.i.)

•

Los eigenvectores de una matriz simétrica no-singular son iguales a los de
su...