Eigenvalores y eigenvectores

Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Cómputo

Valores y vectores propios
Ricardo Guzmán Oñate 1CM2 Algebra Lineal Profesor: Luis M. Cervantes

Eigenvalores y eigenvectores(Valores y vectores propios). Sea T: V→V una transformación lineal, es útil encontrar un vector v en V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar λ tal que. Tv = λv Si v≠0 y λsatisface la condición anterior, entonces λ se llama eigenvalor de T y v se llama un eigenvector de T correspondiente al eigenvalor λ. Si V tiene dimensión finita, entonces T se puede representar poruna matriz . Definición. Sea A una matriz de n x n con componentes reales. El número λ(real o complejo) se llama eigenvalor de A si existe un vector diferente de cero v en tal que. Av = λv El vectorv≠0 se llama eigenvector de A correspondiente al eigenvalor λ Ejemplo Valores y vectores propios de una matriz de 2 x 2

Suponga que λ es un valor propio de A. Entonces existe un vector diferente decero 1 2 ≠0 tal que Av = λv= λIv. Reescribiendo se tiene (A- λI)v=0. ⋮

v=

Teorema 1

Sea A una matriz de n x n. Entonces λ es un valor propio de A si y sólo si p(λ)=det(A- λI)=0

p(λ) es unpolinomio grado n en λ

Contando multiplicidades, toda matriz de n x n tiene exactamente n-eigenvalores. Teorema 2 Sea λ un valor propio de la matriz A de n x n y sea E={v: Av=v}, entonces E es unsubespacio de Espacio propio. Sea λ un valor propio A. El subespacio E se llama espacio propio de A correspondiente al valor propio λ. Sea una matriz de n x n y sea λ1, λ2,…, λm valores propiosdistintos de A(es decir, λi≠ λj, si i ≠j) con vectores propios correspondientes v1,v2,…,vm. Entonces v1,v2,…,vm son linealmente independientes.

Definición.

Teorema 3

Multiplicidad Algebraica. Losnúmeros r1,r2,…,rm se llaman multiplicidades algebraicas de los valores propios λ1, λ2,.., λm respectivamente. Ahora se pueden calcularlos valores propios y sus espacios propios correspondientes....