Ej3 Desarrollos Limitados

Universidad de Costa Rica.
Escuela de Matemática.
Cálculo II .

I Ciclo 2015.
Ejercicios 3.1
Desarrollos limitados.

1. Calcule el desarrollo limitado generado por f (x) = sinh(x) de orden 5.
2.Calcule el desarrollo limitado generado por f (x) = cosh(x) de orden 6.
3. Calcule el desarrollo limitado generado por f (x) = sinh2 (x) de orden 5.
4. Calcule el desarrollo limitado generado por f (x) =sin2 (x) de orden 6.
5. Calcule el desarrollo limitado generado por f (x) = ln(cos2 (x)) de orden 2.
6. Calcule el desarrollo limitado generado por f (x) = ln2 (1 + x) de orden 3.
ˆ x
2
esin (t) dt degrado 5.
7. Calcular el desarrollo de limitado generado por la función f (x) =
0

ˆ

x

sen ln 1 + t2

8. Calcule el desarrollo limitado de orden 7 generado por la función f (x) =

dt.

0

9. Calculelos siguientes límites utilizando desarrollos limitados, en todos los casos a, b > 0:
√
√
1 + 4x − 3 1 + 5x
√
(a) lim √
x→0 4 1 + 6x − 5 1 + 7x

3
R/ 10

1

(1 + x) x − e
(b) lim
x→0
x
1
x

1

(1 +x) x
e

(c) lim

x→0

R/ −e
2
R/e

−1
2

R/e

−1
6

1

sin x x2
(d) lim
x→0
x
√
√
x− e
(e) lim
x→e ln(x) − 1
Sugerencia:Haga el cambio u = x − e.

1

R/ e22

1

R/e−1

(f) lim x 1−x
x→1

(g) lim

x→1(h)

ln (x − ln (x))
ln (x)

lim

x→+∞

x2 1 +

R/0
x

1
x

− ex3 ln 1 +

1
x

a x
1+
− ea x
x→+∞
x
√
√
√
3
(j) lim x 2
x+1+ x−1−2 x
x→+∞
√
√
Sugerencia:Recuerde que x + 1 = x
cambio de variable u =lim

1
−
e

lim

ax + bx
2

x→+∞

1

(l)

2 a

R/ −a2 e

lim

(i)

(k)

R/ 8e

x→+∞

x
x+1
1

R/ −1
4
1+

1
x

y utilice el desarrollo limitados de 1 +

1
x

1
2

.Puede hacer el

1
x.

x

R/ −1
2e

xx

√
R/ ab

Sugerencia: Recuerde que au = eu ln(a) y calcule un desarrollo de orden adecuado, cuando u → 0.
(m) lim

x→0

1 Ejercicios

ax − x ln(a)
bx − x ln(b)

1
x2

R/e 2 (ln
1

basados en ellibro “Introducción al Análisis real en una variable” del Prof. Eduardo Piza V

1

2

a−ln2 b)

(n)

lim

x→+∞

2
arctan(x)
π

x

R/e

Sugerencia: Utilice la identidad arctan(x) + arctan

1
x

=

π
2...