Eje Entre Una Curva

Recordemos que el desarrollo del Cálculo Integral se originó en parte para calcular el área bajo una curva.
    El cálculo de áreas entre una curva dada por y=f(x) y el eje x en el intervalo [a,b] nos llevó a definir una sumatoria de Riemann y el área entre la curva y el eje horizontal se calculó tomando el límite de la suma de Riemann cuando n--->. Todo esto fue para f(x)>0 en [a,b].
   En este cuaderno generalizaremos el procedimiento para calcular áreas.
1 El área entre una curva y el eje x
 
    Sea f(x)0 en el intervalo [a,b]. Entonces la altura del k-ésimo rectángulo es f(xk) y el área bajo la curva es igual al valor de la Integral Definida de f(x) desde a hasta b.
Observa la siguiente gráfica. 
 
Valor de la integraldefinida = 8.0Área entre la curva yel ejehorizontal = 8.0 | |

El caso en que f(x)<0 en el intervalo [a,b]
 
    Si f(x)<0 en [a,b] la situación cambia. En este caso la altura del rectángulo es el negativo del número f(x), puesto que el área del rectángulo (y cualquier área) debe ser positiva.
Observa la siguiente gráfica. 
 
Valor de la integraldefinida = -8.0¡NEGATIVO!Área entre la curva yel eje horizontal = 8.0 | |
 
   Comohemos visto, el área entre la curva y el eje x no siempre es lo mismo que la integral definida. Depende de si f >0 o si f<0 en el intervalo de interés. Enseguida definiremos de una vez por todas el área entre la gráfica de y=f(x) y el eje x en un intervalo dado. 
 
Definición de área:Sea f(x) continua en [a,b]. El área entre la gráfica de y=f(x) y el eje x en el intervalo [a,b] se definecomo la integral definida en [a,b] del valor absoluto de f(x). |
 
    En el siguiente ejemplo verás el cálculo del área entre una curva y el eje x. 
 
Dentro del intervalo(0,1.5), las curvas:y = 1 - x3 y y = 0se intersectan en x = 1.f(x)= 1 - x3 ; g(x)= 0El área entre las curvasen cada subintervalo es:{0.75, 0.515625} | |
 
    Cada una de estas áreas tiene que ser calculada porseparado.
El área total entre las curvas es: 0.75 + 0.515625 = 1.26563
2.3.3 El área entre dos curvas
    En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas.
    El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .
    Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo. 
 
f(x)=3x3 - x2 - 10x | g(x)= - x2 + 2x |
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    Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud(b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.
 
1. Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulosde base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)). 2. El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas. 3. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada. 4. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definidade f(x)-g(x) en [a,b]. 5. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*). |
 
   En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia). 
 
Definición de área entre dos gráficas:El área entre las gráficas de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo [a,b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en[a,b]. |
 
    Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas.
Dentro del intervalo (-2,2), las curvas: 
y=2(1-x2) y y=x2-1 
se intersectan en x = -1, 1. 

f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1 

El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4}Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado.El área total entre las curvas es: 
4 + 4 + 4 = 12 | |
 

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