eje x

El concepto de integral está asociado al concepto de área. Cuando una figura plana está acotada por líneas rectas es sencillo calcular su área. Sin embargo, áreas acotadas por curvas son más difíciles de calcular (incluso, de definir).
Uno de los momentos clave de la Historia de las Matemáticas fue cuando Arquímedes fue capaz de calcular el área de segmentos de una parábola usando el método deexahución de Eudoxo.
Cavalieri (alrededor de 1630) sabía como integrar funciones potencia (f(x)= x^n) desde n=1 hasta n=9. El resultado general, para n arbitrario, fue obtenido por Fermat.
Aunque Cavalieri no conocía el término 'función' podemos decir que una de sus contribuciones fue que él consideró el problema de calcular el área limitada por la gráfica de una función positiva, el eje X ydos rectas verticales (un 'trapezoide curvilíneo' o 'el área bajo una curva')

Queremos asignar un número a esta región que represente su área cuando la función sea positiva. Llamaremos a ese número la integral definida de f entre a y b.
La integral no siempre representa el área de un 'trapezoide curvilíneo'. Ése es el caso si la función es no negativa. Cuando f es negativa la integral va aser menos el área. En general, la integral es el área del trapecio curvilíneo que está por encima del eje X menos el área de las partes que están bajo el eje X.

Si queremos integrar funciones lineales el problema es simple.
El problema es más difícil cuando la gráfica de la función no es una recta.
"Vamos a seguir una idea de Arquímedes. Es aproximar la función f por funciones horizontales(constantes), y el área bajo f por la suma de rectángulos pequeños." (Lang)
En estos casos queremos construir la integral definida (un número) como el resultado de algún tipo de proceso de límite. Podemos empezar dividiendo [a,b] en subintervalos y tomar la suma de las áreas de ciertos rectángulos que aproximan la función f en varios puntos del intervalo. El área de estos rectángulos aproxima laintegral. La integración es un proceso de suma.
Usamos esta notación:

El símbolo S (una S alargada, por suma) se llama signo de integral y fue introducido por Leibniz en 1675. El proceso que produce el resultado se llama integración. Los números a y b, que se ponen junto al signo de integral, se llaman límite de integración inferior y superior.
Leibniz usó este símbolo porque considerabala integral como la suma de infinitos rectángulos con altura f(x) y cuyas bases eran "infinítamente pequeñas". Fue aceptado rápidamente por muchos matemáticos porque les gustaba pensar que la integración era un tipo de "proceso de suma" que les permitía sumar infinitas cantidades "infinitesimales" (infinitamente pequeñas).
Vamos a ver algunas ideas que están en la definición rigurosa de integraldada por Bernhard Riemann (1826-1866).
P es una partición de [a,b].


Una partición define unos subintervalos. La longitud de esos subintervalos puede ser diferente:

Dada una partición de [a,b] podemos añadir más números a la partición y obtenemos una nueva partición que tiene subintervalos más pequeños. Si añadimos suficientes números intermedios entonces los intervalos se pueden hacerarbitrariamente pequeños.
A veces se consideran subdivisiones regulares del intervalo. En este caso, las bases de los rectángulos son iguales:

Para cada i tomamos un punto xi* en [xi, xi+1]. El valor f(xi*) puede verse como la altura de un rectángulo.
"La idea principal que vamos a desarrollar es que si hacemos los intervalos de nuestra partición más y más pequeños, la suma de las áreasde los rectángulos se aproximarán a un límite, y podemos usar ese límite para definir el área bajo la curva." (Lang)
Podemos tomar xi* como el punto medio del subintervalo (como en el mathlet y en los ejemplos previos).
Una elección popular es que xi* se igual a xi, el extremo izquierdo de cada subintervalo. Entonces la altura del rectángulo será f(xi):

O también podemos tomar xi* igual a...