Ejemplo De Calculo 2

Una caja de cartón sin tapa debe tener un volumen de 32000 cm3. Encuentre las dimensiones que hagan mínima la cantidad de cartón utilizado

Hallamosla superficie del cajón:
S = 2xz + 2yz + xy

Volumen
X * y * z = 32.000

Mediante la fórmula:
F = S + λ Φ

Donde:
S: Superficie
λ : ConstanteΦ : Volumen igualado a 0
Igualando el volumen a 0
x* y * z = 32.000
x * y * z – 32.000 = 0
Reemplazando en la primera formula :
F = (2xz + 2yz +xy) + λ (x * y * z - 32.000)

Derivamos F con respecto a x
Fx = 2z + y + λ yz
Derivamos F con respecto a y
Fy = 2z + x + λ xz
Derivamos Fcon respecto a z
Fz = 2z + y + λ xy

Armamos un sistema de ecuaciones con y el volumen
2z + y+λyz = 0
2z + x+λxz = 0
2x + 2y+λxy = 0X * y * z = 32.000

Despejamos λ de cada una de las ecuaciones
De
λ=-2z-yyz

De
λ=-2z-xxz

De
λ=-2x-2yxyIgualando y
-2z-yyz = -2z-xxz
-2zx - xy = -2yz – xy
-zx = -yz (-1)
zx = yz
x = y | |

Igualando y
-2z-yyz = -2x-2yxy

-2xz – xy= -2xz – 2yz
-xy = -2yz (-1)
x = 2z | |

Entonces:
x=y
x=2z

De Reemplazando y
Y=2z
Sustituyendo en yen
X * y * z = 32.000
(2z) * (2z) * z = 32.000
4 z3= 32.000
z3=320004
z3= 8000
Sacando raíz cubica
3z3 = 38000
Z = 20 | Solución |Reemplazando z en
x = 2z
x = 2(20)
x = 40 | Solución |

Como x = y
y = 40 | Solución |

Las dimensiones de la caja son: 40 x 40 x 20