ejemplo de energc3ada plano inclinado con resorte

Un bloque de 20 kg se conecta a otro bloque de 30 kg por medio de una cuerda que pasa por una polea
sin fricción. El bloque de 30 kg está conectado a un resorte quetiene una masa despreciable y una
constante de fuerza de 250 N/m. El resorte no esta deformado cuando el sistema está en las condiciones
indicadas en la figura, lapendiente no representa fricción. El bloque de 20 kg se jala 20 cm hacia debajo
de la pendiente (de manera que el bloque de 30 kg asciende a una altura de 40 cmsobre el suelo) y se
suelta desde el reposo. ¿Encuentre la rapidez de cada bloque cuando el de 30 kg está 20 cm sobre el
suelo (es decir, cuando el resorte no estádeformado)?

Datos:
݉ଵ = 20.0 ‫݃ܭ‬
݉ଶ = 30.0 ‫݃ܭ‬
݇ = 250 ܰൗ݉
‫ = ݀ = ݔ‬20.0ܿ݉ = 0.200 ݉

Figura Inicial
d
B
‫ܣ‬

ܿ

ℎ஻

ℎ௖

Figura final:

Por el teorema deconservación de la energía tenemos:

ଵ

ଵ

ଵ

‫ܧ‬଴் = ‫ܧ‬ி்
ଵ

ଵ

ଵ

ଶ
ଶ
ଶ
݉ ܸ ଶ + ଶ ݉ଶ ܸ௢ଶ
+ ݉ଶ ݃ℎ௖ + ଶ ݇‫ݔ‬௢ ଶ = ଶ ݉ଵ ܸ௙ଵ
+ ଶ ݉ଶ ܸ௙ଶ
+ ݉ଵ ݃ℎ஻ + ଶ ݇‫ݔ‬௙ ଶ
ଶ ଵ ௢ଵ

0

1
1
1
݉ଶ݃ℎ௖ + ݇‫ ݔ‬ଶ = ݉ଵ ܸଵଶ + ݉ଶ ܸଶଶ + ݉ଵ ݃ℎ஻
2
2
2
0

0

Como la cuerda no se estira ni se deforma, entonces tenemos que;
ࢂ૚ = ࢂ૛ = ࢂࢌ
De la figura podemos deducir:
ℎ௖ = ‫݀= ݔ‬
Del triángulo que nos forma:

‫= ߠ݊݁ݏ‬

ℎ஻
݀

ℎ஻ = ݀‫ߠ݊݁ݏ‬

1
1
݉ଶ ݃ℎ௖ + ݇‫ ݔ‬ଶ − ݉ଵ ݃ℎ஻ = ܸ௙ ଶ ሺ݉ଵ + ݉ଶ ሻ
2
2

Reordenando los términos de la ecuación ysustituyendo ℎ஻ :

1
1
݃݀ሺ݉ଶ − ݉ଵ ‫ߠ݊݁ݏ‬ሻ + ݇݀ ଶ = ܸ௙ ଶ ሺ݉ଵ + ݉ଶ ሻ
2
2

Despejando para la velocidad final:
ܸ௙ ଶ =

2݃݀ሺ݉ଶ − ݉ଵ ‫ߠ݊݁ݏ‬ሻ + ݇݀ ଶ
ሺ݉ଵ + ݉ଶ ሻ

ܸ௙ = ඨ

2݃݀ሺ݉ଶ− ݉ଵ ‫ߠ݊݁ݏ‬ሻ + ݇݀ ଶ
ሺ݉ଵ + ݉ଶ ሻ

2 ቀ9.81 ݉ൗ‫ ݏ‬ଶ ቁ ሺ0.20 ݉ሻሾሺ30 ‫݃ܭ‬ሻ − ሺ20 ‫݃ܭ‬ሻ‫݊݁ݏ‬ሺ40ሻሿ + ሺ250 ܰൗ݉ሻሺ0.20 ݉ሻଶ
ඨ
ܸ௙ =
ሺ20 ‫ ݃ܭ‬+ 30 ‫݃ܭ‬ሻ
ࢂࢌ = ૚. ૛૝ ࢓⁄࢙...