Ejemplo_MinCua4
Páginas: 3 (586 palabras)
Publicado: 19 de octubre de 2015
Problema. (Modelo lineal)
En las aguas de un lago hay tres clases de micro-organismos provocadores de
enfermedades. Se sabe que, en respuesta a un tratamiento aplicado a las aguas,
Ejemplo Inicial´ disminuyendo en forma exponencial de acuerdo al
los micro-organismos estan
modelo:
p(t) = c1 e−1.5t + c2 e−0.3t + c3 e−0.05t , t ≥ 0,
M´ınimos Cuadrados
donde p(t) da el numero
(en miles) demicro-organismos. De una muestra de las
´
aguas, en un laboratorio se obtuvieron los siguientes datos:
t (horas)
y = p(t) (miles)
0.5
1
2
3
4
7
5.2
3.8
3.2
2.5
.
´
Ajustar, por m´ınimoscuadrados, los parametros
c1 , c2 y c3 del modelo a los datos
de la tabla anterior.
525370-2015-2
´
DIM – Universidad de Concepcion
-1-
525370-2015-2
´
DIM – Universidad de Concepcion
-2-
´
Modelolineal: continuacion
´
Modelo lineal: continuacion
´
Solucion.
Los datos tabulados
t (horas)
y = p(t) (miles)
0.5
1
2
3
4
7
5.2
3.8
3.2
2.5
.
que matricialmente representamos por AXllevan a que c1 , c2 y c3 verifiquen las ecuaciones
p(ti ) = c1 e−1.5ti + c2 e−0.3ti + c3 e−0.05ti = yi , t ≥ 0,
es decir
p(0.5) = c1 e−1.5(0.5) + c2 e−0.3(0.5) + c3 e−0.05(0.5)
525370-2015-2p(1.0) = c1 e
−1.5(1.0)
p(2.0) = c1 e
−1.5(2.0)
p(3.0) = c1 e
−1.5(3.0)
p(4.0) = c1 e
−1.5(4.0)
= 7.0
+ c2 e
−0.3(1.0)
+ c3 e
−0.05(1.0)
+ c2 e
−0.3(2.0)
+ c3 e
−0.05(2.0)
+ c2 e−0.3(3.0)
+ c3 e
−0.05(3.0)
= 3.2
+ c2 e
−0.3(4.0)
+ c3 e
−0.05(4.0)
= 2.5
-3-
= 5.2
= 3.8
(1)
´
DIM – Universidad de Concepcion
= Y con:
e−1.5(0.5)
e−0.3(0.5)
e−0.05(0.5)
e−1.5(1.0)
−1.5(2.0)
A=
e
−1.5(3.0)
e
e−1.5(4.0)
e−0.3(1.0)
e−0.05(1.0)
c1
−0.05(2.0) , X =
e
c2
−0.05(3.0)
e
c3
−0.05(4.0)
e
525370-2015-2
e−0.3(2.0)
e−0.3(3.0)e−0.3(4.0)
-4-
7.0
5.2
e Y = 3.8 .
3.2
2.5
´
DIM – Universidad de Concepcion
´
Modelo lineal: continuacion
´
Modelo lineal: continuacion
´...
En las aguas de un lago hay tres clases de micro-organismos provocadores de
enfermedades. Se sabe que, en respuesta a un tratamiento aplicado a las aguas,
Ejemplo Inicial´ disminuyendo en forma exponencial de acuerdo al
los micro-organismos estan
modelo:
p(t) = c1 e−1.5t + c2 e−0.3t + c3 e−0.05t , t ≥ 0,
M´ınimos Cuadrados
donde p(t) da el numero
(en miles) demicro-organismos. De una muestra de las
´
aguas, en un laboratorio se obtuvieron los siguientes datos:
t (horas)
y = p(t) (miles)
0.5
1
2
3
4
7
5.2
3.8
3.2
2.5
.
´
Ajustar, por m´ınimoscuadrados, los parametros
c1 , c2 y c3 del modelo a los datos
de la tabla anterior.
525370-2015-2
´
DIM – Universidad de Concepcion
-1-
525370-2015-2
´
DIM – Universidad de Concepcion
-2-
´
Modelolineal: continuacion
´
Modelo lineal: continuacion
´
Solucion.
Los datos tabulados
t (horas)
y = p(t) (miles)
0.5
1
2
3
4
7
5.2
3.8
3.2
2.5
.
que matricialmente representamos por AXllevan a que c1 , c2 y c3 verifiquen las ecuaciones
p(ti ) = c1 e−1.5ti + c2 e−0.3ti + c3 e−0.05ti = yi , t ≥ 0,
es decir
p(0.5) = c1 e−1.5(0.5) + c2 e−0.3(0.5) + c3 e−0.05(0.5)
525370-2015-2p(1.0) = c1 e
−1.5(1.0)
p(2.0) = c1 e
−1.5(2.0)
p(3.0) = c1 e
−1.5(3.0)
p(4.0) = c1 e
−1.5(4.0)
= 7.0
+ c2 e
−0.3(1.0)
+ c3 e
−0.05(1.0)
+ c2 e
−0.3(2.0)
+ c3 e
−0.05(2.0)
+ c2 e−0.3(3.0)
+ c3 e
−0.05(3.0)
= 3.2
+ c2 e
−0.3(4.0)
+ c3 e
−0.05(4.0)
= 2.5
-3-
= 5.2
= 3.8
(1)
´
DIM – Universidad de Concepcion
= Y con:
e−1.5(0.5)
e−0.3(0.5)
e−0.05(0.5)
e−1.5(1.0)
−1.5(2.0)
A=
e
−1.5(3.0)
e
e−1.5(4.0)
e−0.3(1.0)
e−0.05(1.0)
c1
−0.05(2.0) , X =
e
c2
−0.05(3.0)
e
c3
−0.05(4.0)
e
525370-2015-2
e−0.3(2.0)
e−0.3(3.0)e−0.3(4.0)
-4-
7.0
5.2
e Y = 3.8 .
3.2
2.5
´
DIM – Universidad de Concepcion
´
Modelo lineal: continuacion
´
Modelo lineal: continuacion
´...
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