Ejemplo sobre método de eliminación gaussiana

Ejemplo Inicial
´
Eliminacion de Gauss

521230

-1-

´
DIM – Universidad de Concepcion.

´
Metodo de Gauss
Ejemplo.
Este ejemplo corresponde a un sistema compatible con matrizcuadrada y
´
´ ´
rango igual al numero de incognitas. Luego el sistema tiene solucion unica. En
´
estas condiciones, la matriz del sistema equivalente es triangular superior. La
´
´
´
solucion seobtendra por sustitucion regresiva.
Resolver el sistema Ax









= b:

1

2 −3

2

1 −4

1

1

1

−1 −1 −1

521230

-2-









0
x1

 
 x   1 
−1   2  

.
=

1   x3   0 

 

4
x4
1
5

´
DIM – Universidad de Concepcion.

´
Metodo de Gauss
´
´
Solucion. Para eliminar x1 de la segundaecuacion en adelante, se aplican a
la matriz ampliada [A|b] las operaciones

f2 ← f2 − 2f1 , f3 ← f3 − f1

y

f4 ← f4 − (−1)f1 ,

las cuales introducen ceros en la primera columna bajo elelemento a11



521230

2

2

1

1

1

−1








1

−1

−3



5 0



1

2 −3



 0 −3

−4 −1 1 
2

 −→ 
 0 −1
1
1 0 
4


0
1−4
−1
1 4

-3-

5


0


−11 1 

.
−4 0 

6 4

´
DIM – Universidad de Concepcion.

´
Metodo de Gauss
A la nueva matriz aplicamos las operaciones

1
1
f3 ← f3 − ()f2 y f4 ← f4 − (− )f2 ,
3
3
para eliminar x2 de la tercera y cuarta ecuaciones al introducir ceros en la
´
segunda columna, bajo la posicion (2, 2):


1

2 −3


5


 0 −3
2 −11

 0 −1
4
−4

0
1 −4
6

521230

0


1



 0

1 

 −→ 
 0
0 


4
0

-4-

2
−3
0
0

−3


5

2 −11
10
3
− 10
3

−1
3
7
3

0


1

.
1 
−3 
13
3

´
DIM – Universidad de Concepcion.

´
Metodo de Gauss
Finalmente, se elimina x3 aplicando

f4 ← f4 − (−1)f3
al ultimo sistema para llegar al nuevo sistema...