Ejemplos de derivadas

Veamos qué ocurre con la recta tangente a la gráfica de una función tanto en los máximos relativos como en los mínimos relativos, siempre tiene que ser paralela al eje X, y portanto el ángulo que forma con dicho eje tiene que ser siempre cero. Como la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto, en losextremos relativos la derivada de la función tiene que ser siempre cero.

Teorema 3.-

Sea a un punto donde f es derivable, entonces, si a es un extremo relativo se tieneque f'(a)=0.
A éste mismo resultado se puede llegar teniendo en cuenta que en un extremo relativo la función tiene que cambiar el sentido del crecimiento y aplicando elteorema 1 se tiene que f'(a)=0.
Observar que si f'(a)=0 no quiere decir que se tenga en a un extremo relativo (véase la gráfica del apartado 7)
Para determinar los máximos ymínimos relativos existen dos métodos:

A) Se obtienen los intervalos de monotonía y se estudia el crecimiento y decrecimiento de la función. Si en uno de esos intervalos lafunción es creciente y en el siguiente decreciente, siendo el extremo común de los intervalos un punto del dominio de definición en el que la función es continua, tenemos unmáximo; si la función es decreciente y en el siguiente intervalo es creciente, siendo el extremo común del intervalo un punto del dominio de definición en el que la función escontinua, tenemos un mínimo.
Los puntos en los que la función no sea continua tendremos que estudiarlos aparte.
Si nos fijamos en el ejemplo del apartado 2 se tendríaentonces que en (a,f(a)) y en (c,f(c)) hay un mínimo y que en (d,f(d)) hay un máximo.

B) El segundo método se basa en el hecho siguiente: supongamos que f'(a)=0 y que f''(a)