ejemplos de derivadas

Derivación implícita

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivación y teniendo presente que:

x'=1.En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Ejemplos

 
 













Derivación Implícita
 
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos decálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchasfunciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada  para esta última ecuación,lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logradespejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?


El método de regla de lacadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y,será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
 Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
 
Ejemplo 2:
 Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
 Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:

Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundotérmino se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación...