EJEMPLOS DE DISTRIB. HIPERGEOMETRICA


La distribución Hipergeométrica
 
Este modelo presenta similitudes con el Binomial, pero sin la suposición de independencia de éste último. Veámoslo: 
Partimos de un conjunto formado por N individuos divididos en dos categorías mutuamente excluyentes: A y Ac; de manera que N1 individuos pertenecen a la categoría A yN2 individuos, a la categoría Ac. Por tanto, se cumple que
N = N1 + N2
Sidel conjunto anterior extraemos n individuos sin reemplazamiento (n ≤ N), la variable X que representa el número k de individuos que pertenecen a la categoría A (de los nextraídos) tiene por función de densidad: 
 

 
La dependencia se debe al hecho de que N es finito y las extracciones se efectúan sin reemplazamiento. El caso de extracciones con reemplazamiento sería equivalente alde N infinito y se resolvería mediante el modelo Binomial.
El programa siguiente nos muestra la forma de la función de densidad de esta variable y el valor de la función de densidad y de la función de distribución en el punto que elijamos:
 
 
 
 
Propiedades: 
1) Esperanza: E(X) = n N1 / N 2. 
2) Varianza: V(X) = (n N1 N2 (N-n)) / (N2 (N-1) )
 
 
 
Propiedades del modelo Hipergeométrico
1)Esperanza: E(X) = n ´ N1/N
2) Varianza: V(X) = (n ´ N1 ´ N2 (N − n))/(N2 ´ (N − 1))



Distribución hipergeométrica
Distribución hipergeométrica
Parámetros

 
Dominio

Función de probabilidad(fp)

Media

Moda

Varianza

Coeficiente de simetría

Curtosis
 

Función generadora de momentos(mgf)

Función característica

En teoría de la probabilidad la distribuciónhipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x () elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.
Propiedades
La función deprobabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientoscombinatorios y es igual a

donde  es el tamaño de población,  es el tamaño de la muestra extraída,  es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y  es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación  hacereferencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar elementos de un total .
El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es

y su varianza,

En la fórmula anterior, definiendo

y

se obtiene

La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. Ensituaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.



3)  DISTRIBUCIÓN  HIPERGEOMÉTRICA.
 
Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:
a)      Al realizar unexperimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.
b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
c)      Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.
d)      El número de repeticiones del experimento (n) es constante.
 
 
Ejemplo:
En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cualeshay una cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?
 Solución:
 
Luego;
 
 
                                   
 
donde:
p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados
 
muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos...