Ejemplos de ecuaciones diferenciales
II
II
Í NDICE GENERAL
1. Métodos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias
1
2. La ecuación lineal I: aspectos teóricos sobre la existencia y unicidad de solución y matrices fundamentales 33 3. La ecuación lineal II: forma canónica de Jordan, exponencial de una matriz y fórmula de variación de las constantes57 4. Teoría de comparación de Sturm 5. La ecuación periódica 6. Ecuaciones diferenciales con coeficientes analíticos 7. Análisis local de existencia y unicidad de soluciones 8. Análisis global de existencia y unicidad de soluciones 109 113 153 163 195
9. Dependencia continua y diferenciable respecto de datos iniciales y parámetros. Estabilidad 211 10. Series de Fourier, problemas de contorno,ecuaciones en derivadas parciales y cálculo de variaciones 237
III
IV
ÍNDICE GENERAL
IV
C APÍTULO 1
Métodos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias
1. La población P(t) de un suburbio de una gran ciudad en un instante cualquiera se rige por
= P(10−1 − 10−7 P) , P(0) = 5000
dP dt
en donde t se mide en meses. ¿Cuál es el valor límite de lapoblación? ¿En qué momento será la población igual a la mitad de su valor límite?
Solución : Calculamos en primer lugar el tamaño de la población, P(t), resolviendo el problema de valores iniciales. La ecuación diferencial tiene sus variables separadas: P(10−1 P = 1, − 10−7 P)
donde hemos denotado P = dP . Integrando los dos miembros de dt esta identidad entre 0 y t obtenemos 107
P(t) 5000
dQ =t, Q(106 − Q)
donde hemos efectuado el cambio de variable Q = P(t). Teniendo en cuenta ahora que 1 Q(106
− Q)
= 10−6
1
1 1 + 6 Q 10 − Q
,
2 concluimos tras una serie de cálculos simples que la única solución de nuestro problema es P(t) = 106 e 10 199 + e 10
t t
.
El valor límite de la población es por tanto
t→∞
l´m P(t) = 106 , ı
como se desprende de una simpleaplicación de la regla de L’Hôpital. Para responder a la segunda cuestión tenemos que encontrar el valor 6 t0 para el que P(t0 ) = 10 . Basta entonces con resolver la ecuación 2 10
6
e 10 199 + e 10
t0
t0
=
t0 106 ⇔ e 10 = 199 . 2
Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros concluimos que t0 = 10 log(199) meses ≈ 4,41 años .
2. Resuelve las siguientes ecuacionesdiferenciales: (a) x = et −
2t t2 −1
(b) ( x2 + 9) y + xy = 0 (c)
dy dx
= 2xe− y
1+t t2 x2
(d) x =
(e) x = et+x
Solución : (a) La ecuación tiene sus variables separadas. Integrando obtenemos x(t) = et − log(|t2 − 1|) + C , 2 C ∈ R.
Métodos elementales
3
1·10
6
800000
600000
400000
200000
20
40
60
80
100
120
140
Figura 1.1: Representación gráficade la solución del Ejercicio 1 en el intervalo [0, 150].
3
4 (b) Separando las variables obtenemos x y =− 2 y x +9 e integrando con respecto a x llegamos a y( x) = √ C x2 + 9
dy dx
.
(c) Separando las variables resulta e y solución general y( x) = log( x2 + C ) ,
= 2x, de donde se obtiene la
C ∈ R : x2 + C > 0 ,
sin más que integrar ambos miembros con respecto a la variablex. Obsérvese que, dado cualquier dato inicial y( x0 ) = y0 , la solución sólo existe si x 2 > −C = x 2 − e y0 . 0 (d) Separando las variables obtenemos x2 x = 1+t . t2
Integrando entonces con respecto a t en ambos miembros de la ecuación encontramos que la solución general de la misma viene dada por 1 x(t) = 3 log(|t|) − t
1 3
+C
,
C ∈ R.
(e) Separando las variables resulta e−x x= et , de donde obtenemos la solución general x(t) = − log(C − et ) , C > et ,
integrando la ecuación con respecto a la variable t. Obsérvese que, dado cualquier dato inicial x(t0 ) = x0 , la solución sólo existe si t < log(C ) con C = et0 + e−x0 .
4
Métodos elementales
5
3. Un reactor transforma plutonio 239 en uranio 238 que es relativamente estable para uso industrial....
Regístrate para leer el documento completo.