Ejemplos de integrales

1. Resuelve cada una de las siguientes integrales con la aplicación de las propiedades y fórmulas básicas de integración.
a. 2x3-cosx+2xdx
Solución.
Usando la propiedad 2:
fx±gxdx=fxdx±gxdx2x3-cosx+2xdx=2x3dx-cosxdx+2xdx
Usando la propiedad 1:
kfxdx=kfxdx
La fórmula 2 en la primera integral:
xndx=xn+1n+1+C
La fórmula 7 en la segunda integral:
cosxdx=sinx+C
Y la Fórmula 5 en latercera integral:
axdx=axlna+C
Por lo tanto:
2x3-cosx+2xdx=2x3dx-sinx+2xln2+C=2x3+13+1-sinx+2xln2+C
2x3-cosx+2xdx=2x44-sinx+2xln2+C
2x3-cosx+2xdx=12x4-sinx+2xln2+C

b. 2x13-32x+exdxSolución.
Usando la propiedad 2:
fx±gxdx=fxdx±gxdx
2x13-32x+exdx=2x13dx-321xdx+exdx
Usando la propiedad 1:
kfxdx=kfxdx
La fórmula 2 en la primera y segunda integral:
xndx=xn+1n+1+C
La fórmula 4en la tercera integral:
exdx=ex+C
Y usando las leyes de los exponentes
Por lo tanto:
2x13-32x+exdx=2x13dx-321x12dx+ex+C
2x13-32x+exdx=2x13+113+1-32x-12dx+ex+C2x13-32x+exdx=2x4343-32x-12+1-12+1+ex+C
2x13-32x+exdx=234x43-32x1212+ex+C
2x13-32x+exdx=32x43-322x12+ex+C=32x43-3x12+ex+C
2x13-32x+exdx=32x43-3x+ex+C

c. x-12xdx
Solución.
Desarrollando el binomio y simplificando:x-12xdx=x2-2x+1xdx=x2x-2xx+1xdx=x-2+1xdx
Usando la propiedad 2:
fx±gxdx=fxdx±gxdx
x-2+1xdx=xdx-2dx+1xdx
Usando la propiedad 1:
kfxdx=kfxdx
La fórmula 2 en la primera integral:
xndx=xn+1n+1+C
Lafórmula 1 en la segunda integral:
dx=x+C
Y la Fórmula 3 en la tercera integral:
x-1dx=lnx+C
Por lo tanto:
x-2+1xdx=x1+11+1-2dx+lnx+C=x22-2x+lnx+C
x-12xdx=x-2+1xdx=x22-2x+lnx+C

d. x2x3+1+secxdxSolución.
Usando la propiedad 2:
fx±gxdx=fxdx±gxdx
x2x3+1+secxdx=x2x3+1dx+secxdx
Desarrollando usando las leyes de los exponentes y simplificando:
x2x3+1=2x12x3+x12=2x72+x12
Entoncesobtenemos:
x2x3+1+secxdx=2x72+x12dx+secxdx
Usando otra vez la propiedad 2 en la primera integral.
Usando la propiedad 1:
kfxdx=kfxdx
La fórmula 2 en la primera integral:
xndx=xn+1n+1+C
La fórmula de...