Ejemplos de probabilidad y estadistica

1. Estadística descriptiva
El tratamiento de niños con desórdenes de la conducta puede ser complejo. El tratamiento se puede proveer en una variedad de escenarios dependiendo de la severidad de los comportamientos. Además del reto que ofrece el tratamiento, se encuentran la falta de cooperación del niño/niña y el miedo y la falta de confianza de los adultos. Para poder diseñar un plan integralde tratamiento, el siquiatra de niños y adolescentes puede utilizar la información del niño, la familia, los profesores y de otros especialistas médicos para entender las causas del desorden. Para ello, un siquiatra local ha considerado una muestra aleatoria de 20 niños, anotando el tiempo necesario que requiere en cada niño para lograr un plan integral del tratamiento, obteniéndose lo siguiente(en horas):

6 7 7 8 8 8 8 9 9 9
9 9 9 9 10 10 10 10 10 11
a) Calcule las medidas de tendencia central y de dispersión de estos datos, indicando a qué tipo de medida pertenece.

Respuesta:
Medidas de tendencia central:
Promedio: x=Σxin= 12020=8.8 horas
Mediana:
Orden de los datos: 6 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11
Posición de la Mediana: (n+1)2= 212=10.5por lo tanto la mediana será el valor medio entre la décima y la onceava posición
Mediana = 9 horas.
Moda = 9 horas (valor mas común)

Medidas de dispersión:
Desviación estándar: s = 1,24 horas.
Rango = 11 – 6 = 5 horas.

2. Elementos de probabilidad
En un examen sobre 20 temas se proponen 3 seleccionados al azar de los cuales aprobara si el número máximo de errores es 1. ¿Quéprobabilidad tiene de aprobar un alumno que solo ha estudiado 8 temas?
Solución:
Existen en total 203=1140 examenes posibles
El alumno aprobara si sabe los 3 temas: exámenes 83= 56
El alumno aprobara también si conoce solo 2 de los 3 temas: casos favorables82121= 336
Probabilidad de aprobar=casos favorablescasos totales = 336+561140=0.344

Estimación por intervalos
3. La lectura de una muestraaleatoria mostraron una media de 174.5 cm y una
desviación estándar de 6.9 cm. Determine un intervalo de conf ianza del 98% para
la altura promedio de todos los estudiantes.
Solución:
μ=x± Zα2σn
x=174.5;σ=6.9;n=50;Nc=98%

4. Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.001 para el peso exacto mediante los
resultados obtenidos con 10 básculas:

7.20, 7.01, 7.36, 6.91, 7.22, 7.03, 7.11,7.12, 7.03, 7.05
SOLUCIÓN:
Suponiendo que las medidas del peso de las básculas sigue una distribución normal N(μ,σ 2 ) con media el peso exacto, estamos interesados en encontrar un intervalo de confianza que contenga a la media de esta distribución, que a un nivel α = 0.001 y desviación típica desconocida, está determinado por:

x-tn-1;1-α2Sn ,x+tn-1;1-α2Sn
donde n = 10 x= i=1nXin=7.104;SnXi-X2n-1=0.1286
y utilizando la tabla de la distribución t de Student
tn-1;1-α2=t9;0.9995=4.78091

Por tanto, el intervalo de confianza al nivel 0.001 es: (6.9096,7.2984), Y representa que la media del peso estará en dicho intervalo con una probabilidad de acierto del
99.9%.

5. El parámetro de una distribución de Poisson puede tomar uno de los cuatro valores siguientes: a = 4; 4,5;5,5; 6.
Decídase cual de ellos puede ser, considerando una muestra aleatoria simple de tamaño dos, tal que x1 = 3 y x2 = 7, y basándose en el principio de máxima verosimilitud.
SOLUCION:
La muestra puede proceder de cuatro poblaciones distintas, según sea el valor que tome el parámetro a de la distribución de Poisson; de acuerdo con el principio de máxima verosimilitud, elegiremos el valor de atal que la probabilidad de obtener la citada muestra sea máxima.
Calculamos la probabilidad para cada valor de a:

a = 4;PX1=3; X2=7=2*e-4*433!*e-4*477!=0.02326
a=4.5;PX1=3; X2=7=2*e-4.5*4.533!*e-4.5*4.577!=0.02780
a=5.5;PX1=3; X2=7=2*e-5.5*5.533!*e-5.5*5.577!=0.02798
a=6;PX1=3; X2=7=2*e-6*633!*e-6*677!=0.02457
Cuando a = 5,5 obtenemos la mayor probabilidad de extraer la muestra (3; 7),...