Ejemplos De Probabilidad

1) Calcular la probabilidad de lanzar tres monedas seguidas, siendo “x” la variable que se determina por el número de soles o caras obtenidas. Calcular

a. Media o valor esperado (µ ó E)
b. Varianza (σ2)
c. Desviación estándar (σ)

* Primero obtenemos el espacio muestral que en este caso es el siguiente:
E={AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA, SSS}
En este casoA=águila y S =sol

* Ahora obtenemos la tabla de variables y sus probabilidades

Espacio muestral | Variable aleatoria x (número de soles obtenidos) | operaciones para obtener las probabilidades | Probabilidad de solesP(x) |
AAA | 0 | (1/2) (1/2) (1/2)=1/8 | 1/8 |
AAS | 1 | (1/2) (1/2) (1/2)=1/8 | |
ASA | 1 | (1/2) (1/2) (1/2)=1/8 | 3/8 |
SAA | 1 | (1/2) (1/2) (1/2)=1/8 | |
ASS| 2 | (1/2) (1/2) (1/2)=1/8 | |
SAS | 2 | (1/2) (1/2) (1/2)=1/8 | 3/8 |
SSA | 2 | (1/2) (1/2) (1/2)=1/8 | |
SSS | 3 | (1/2) (1/2) (1/2)=1/8 | 1/8 |

a. Media o valor esperado (µ ó E)
La formula de la media es la siguiente: μ=i=1nx f(x) (sumatoria de los valores de la variable por sus respectivas probabilidades)

μ=i=1nx fx= 0(1/8)+1(3/8)+2(3/8)+3(1/8)
=3/8+6/8+3/8=1.5

b. Varianza (σ2)
la formula de la varianza es la siguiente :σ2= i=1nx2 fx -µ²
primero se calcula esta parte y después al final de la sumatoria se le resta la media elevada al cuadrado
i=1nx2 fx =0²(1/8)+ 1²(3/8)+2²(3/8)+3²(1/8)
=24/8
=3
Al resultado anterior ahora si se le resta la media al cuadrado
σ2= 3 - µ²= 3 - 1.5²= 3 - 2.25 = 0.75

c. Desviación estándar (σ)σ=σ²=0.75=0.86

2) Se lanzan 3 monedas cargadas para que la probabilidad de águilas sea ¾ y la de sol sea ¼ .sea x la variable aleatoria de águilas que aparezcan. Calcular

d. Media o valor esperado (µ ó E)
e. Varianza (σ2)
f. Desviación estándar (σ)

* Primero obtenemos el espacio muestral que en este caso es el siguiente:
E={SSS, SSA,SAS,ASS, SAA, ASA,AAS, AAA}
En este caso A=águila y S =sol

* Ahora obtenemos la tabla de variables y sus probabilidades

Espacio muestral | Variable aleatoria x (número de águilas obtenidas) | operaciones para obtener las probabilidades | Probabilidad de águilasP(x) |
SSS | 0 | (1/4) (1/4) (1/4)=1/64 | 1/64 |
SSA | 1 | (1/4) (1/4) (3/4)=3/64 | |
SAS | 1 | (1/4) (3/4) (1/4)=3/64 | 9/64 |
ASS | 1 |(3/4) (1/4) (1/4)=3/64 | |
SAA | 2 | (1/4) (3/4) (3/4)=9/64 | |
ASA | 2 | (3/4) (1/4) (3/4)=9/64 | 27/64 |
AAS | 2 | (3/4) (3/4) (1/4)=9/64 | |
AAA | 3 | (3/4) (3/4) (3/4)=27/64 | 27/64 |

a. Media o valor esperado (µ ó E)
μ=i=1nx fx=0(1/64)+1(9/64)+2(27/64)+3(27/64)
=144/64
=2.25

b. Varianza (σ2)
i=1nx2 fx =0²(1/64)+1²(9/64)+2²(27/64)+3²(27/64)
=360/64
=5.625σ2 =5.625 – 2.25²
=5.625 – 5.0625
=0.5625

c. Desviación estándar (σ)
σ=σ²=0.5625=0.75

3) hallar la probabilidad de cada reparto de chicos y de chicas en familias con 4 hijos. Suponiendo igual probabilidad para ambos. Calcular los siguientes datos considerando que x es la variable aleatoria en el reparto de chicas
g. Media o valor esperado (µ ó E)
h. Varianza (σ2)i. Desviación estándar (σ)

* Primero obtenemos el espacio muestral que en este caso es el siguiente:
E={HHHH, HHHM, HHMH ,HMHH, MHHH, HHMM, HMHM, HMMH, MHHM, MHMH, MMHH, HMMM, MHMM, MMHM, MMMH, MMMM }
En este caso H= hombre y M= mujer
* Ahora obtenemos la tabla de variables y sus probabilidade

Espacio muestral | Variable aleatoria x (número de mujeres) |operaciones para obtener las probabilidades | Probabilidad de mujeresP(x) |
HHHH | 0 | (1/2) (1/2) (1/2) (1/2)=1/16 | 1/16 |
HHHM | 1 | (1/2) (1/2) (1/2) (1/2)=1/16 | |
HHMH | 1 | (1/2) (1/2) (1/2) (1/2)=1/16 | |
HMHH | 1 | (1/2) (1/2) (1/2) (1/2)=1/16 | 4/16 |
MHHH | 1 | (1/2) (1/2) (1/2) (1/2)=1/16 | |
MMHH | 2 | (1/2) (1/2) (1/2) (1/2)=1/16 | |
HMHM | 2 | (1/2) (1/2) (1/2)...