Ejemplos De

Ejemplos: 1. La utilidad de la empresa Acme Ltda., en millones de pesos, está dada por: 95 U (t ) = − t 2 + 23,75 t . Donde “t” son las unidades producidas y vendidas, en miles. 64
a) Con cuántasunidades producidas y vendidas la utilidad es máxima. b) ¿Cuál es la utilidad máxima? c) Grafique la función en el contexto del problema. Solución: a) Obs.: Note que se trata de una función cuadráticade la forma y = ax 2 + bx + c 95 Y como el coeficiente “a”, en este caso, es “ − ”, menor que cero, la parábola es 64 cóncava (abre hacia abajo), luego su vértice es un punto máximo.  b  b Recuerde que las coordenadas del vértice son:  −  2 a , f  − 2a       −b − 23,75 ⇒ = =8 95 2a 2⋅− 64 ∴ Con 8 mil unidades producidas y vendidas la utilidad es máxima.

b) La utilidad máxima seobtiene buscando la imagen de 8, esto es:
95 2  −b f  ⇒ f (8) = − ⋅ 8 + 23,75 ⋅ 8 = 95 64  2a  ∴La utilidad máxima es de 95 millones.
c)

David Zúñiga Contreras.

2. En cierta universidadel 1% de la comunidad estudiantil hecha a rodar un rumor, se sabe que al cabo de 2 horas el 25% de los estudiantes se ha enterado de este rumor. Si el número de estudiantes que se ha enterado del rumorluego de t horas esta dado por: 2000 N (t ) = , donde 2000 es el número de estudiantes de la universidad. 1 + p ⋅ e −k t
a) Determine completamente el modelo. b) Cuantos estudiantes se han enteradodel rumor al cabo de 5 horas. Solución: a) 1% → 20 , t = 0 es decir, el 1% de los estudiantes es 20 (recuerde que 2000 es el total), y esta cantidad hecha a rodar el rumor, esto significa que 20alumnos conocen el rumor desde el comienzo (desde el tiempo cero). En definitiva, cuando “t” vale 0, “N” vale 20. Luego podemos plantear y resolver la ecuación:
20 = 2000 1 + p ⋅ e −k ⋅ 0

⇒ 20 =2000 1 + p ⋅1

⇒ 20 =

2000 2000 ⇒ 1+ p = 20 1+ p

⇒

p = 99

Al cabo de dos horas el 25% de los alumnos (500 alumnos) se ha enterado del rumor, es decir, cuando “t” vale 2, “N” vale 500,...