Ejemplos edp's

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES II Solucion Examen Parcial
JULIO DE 2012

Nombre ______________________________________ 1. Encuentra la serie de Fouriertrigonométrica de f (t) = 1 t en el intervalo 0 t 2 Ya que la función está de…nida en un intervalo no simétrico, puedes elegir entre realizar la serie en senos o en cosenos. L=2 En senos: R2 bn = 2 0 (1 2
n=1 1 Xt) sin
n t 2

n t 2

dt = 2 1+( n1)
1 X 2 n

n

2 1+( n1) sin

n

=

sin (n t)

n=1

En cosenos: R2 a0 = 1 0 (1 2 R2 an = 2 0 (1 2
n=1 1 X

t) dt = 0 t) cos cos
n t 2 n t 2dt = 4 1
1 X 8
2 (2n

( 1)n 2 n2

41

( 1)n 2 n2

=

1)2

cos

(2n 1) t 2

n=1

2. Encuentra la serie de Fourier compleja de la función f (t) = T = 3; ! 0 = 23 R2 c0 = 1 0 tdt= 2 3 3 R 2 1 2 int cn = 3 0 te 3 dt =
2 3

t; 0 < t < 2 0; 2 < t < 3

4

1 2 n2

(3 + 4i n) e
4 3i

4 3i

n

3

+

n= 1 n6=0

1 X

4

1 2 n2

(3 + 4i n) e

n

3 e

23

int

3. Escribe la serie de Fourier en cosenos de f (x; y) = xy en el rectángulo 0 x 1; 0 y 3 L = 1; K = 3 R3R1 R1 R3 anm = 4 0 0 xy cos n1 x cos m3 y dxdy = 4 0 x cos ( nx) dx 0 y cos 3 3 R3R1 a00 = 4 0 x dx 0 ydy = 3 3 R1 R3 m a0m = 4 0 x dx 0 y cos 1 my dy = 26 2 (( 1) 1) 3 3 m 1
1 3

my dy

an0 = anm =
3 4

4 3

0 n 1 4 ( 1) 9 2 n2 36 2 2 m2 3
2 m2

R1

x cos ( nx) dx(( 1)

R3
0

ydy = 6 (
m

1)n 1 2 n2 36
4 m2 n2

1) =
1 3

(( 1)

m

1) (( 1)

n

1)

+

+

n=1

m=1 1 X

1 X

(( 1) (( 1)

m

1) cos

my +

n=1 36 m

1X

3(

1)n 1 2 n2

cos ( nx) + my jtj ; 0; t jtj >

4 m2 n2

1) (( 1)

n

1) cos ( nx) cos

1 3

4. Escribe la representación en integral de Fourier de f (t) = A (!) = 2 R
0 ! cos(! ) d = 2 cos !2 1

5. Encuentra la transformada de Fourier de cada una de las siguientes funciones y encuentre la función del espectro de frecuencia: (a) f (t) = 5e
3(t 5)2 3(t 5)2

B (!) = 0...