ejemplos integrales

CAP´
ITULO VII.
´
INTEGRACION
INDEFINIDA

SECCIONES
A. Integrales inmediatas.
B. Integraci´n por sustituci´n.
o
o
C. Integraci´n por partes.
o
D. Integraci´n por fracciones simples.
o
E. Aplicaciones de la integral indefinida.
F. Ejercicios propuestos.

267

A. INTEGRALES INMEDIATAS.

Se dice que una funci´n y = F (x) es integral indefinida (tambi´n llamada
o
e
primitiva oantiderivada) de otra funci´n y = f (x) cuando F (x) = f (x). La
o
notaci´n usual para representar este hecho es la siguiente:
o
F (x) =

f (x)dx.

El t´rmino ”dx”indica que la variable respecto a la cual se est´ integrando
e
a
es ”x”.
Para calcular integrales se deben encontrar funciones cuya derivada sea la
funci´n original. Se tratar´ entonces de aplicar las reglas de derivaci´nen
o
a
o
sentido inverso, donde conocidas las derivadas de las funciones, se encuentren
las propias funciones.
Una diferencia fundamental consiste en que mientras cada funci´n s´lo tiene
o o
una derivada, tiene infinitas integrales, porque si F (x) = f (x), entonces
[F (x) + C] = f (x) para cualquier constante C.
Esto se indicar´ escribiendo f (x)dx = F (x) + C. De este modo, todas las
aprimitivas de una funci´n se obtienen sumando una constante arbitraria a
o
una primitiva particular. Las siguientes propiedades permitir´n descompoa
ner integrales en otras m´s sencillas:
a
i)

f (x)dx = f (x) + C.

ii) [f (x) ± g(x)]dx =
iii)

kf (x)dx = k

f (x)dx ±

g(x)dx.

f (x)dx, k ∈ R.

De las f´rmulas de derivaci´n se obtiene la siguiente tabla de integrales
o
oinmediatas, sin m´s que cambiar el orden de las f´rmulas.
a
o
xn+1
+ C si n = −1.
n+1

1)

xn dx =

2)

sen xdx = − cos x + C.

3)

cos xdx = sen x + C.

4)

sec2 xdx = tg x + C.

5)

sec x tg xdx = sec x + C.

6)

cosec x cotg xdx = − cosec x + C.

7)

cosec2 xdx = − cotg x + C.
268

1
dx = arc sen x + C.
1 − x2

8)

√

9)

1
dx = arc tg x + C.
1 +x2

10)

1
√
dx = arcsec x + C.
x x2 − 1

11)

1
dx = ln |x| + C.
x

ax
+ C.
ln a
Veremos a continuaci´n algunos casos de aplicaci´n de las f´rmulas anterioo
o
o
res.
12)

ax dx =

PROBLEMA 7.1.

Resolver la integral

(4x3 − 5x2 + 7)dx.

Soluci´n
o

Aplicaremos las propiedades (ii) y (iii) para descomponer la integral en otras
integrales m´s simples.
a
I=4x3 dx − 5

x2 dx + 7

dx.

Aplicando la regla (1) se pueden resolver las integrales que resultan:
I=
Ten en cuenta que

4x4 5x3
5x3
−
+ 7x + C = x4 −
+ 7x + C.
4
3
3
dx =

x0 dx = x1 /1 + C = x + C.

Aunque se deber´ sumar una constante a cada integral, como esa constante
ıa
es arbitraria, se a˜ade al resultado final una constante, que ser´ la suma de
n
ıa
cada una de lasrestantes.

PROBLEMA 7.2.

Resolver

1
dx.
x2
269

Soluci´n
o

Escribimos 1/x2 como x−2 y tenemos:
I=

x−2 dx =

x−1
1
+ C = − + C.
−1
x

PROBLEMA 7.3.
√
3

Resolver

zdz .

Soluci´n
o

Si escribimos el integrando en forma de potencia:
I=

z 1/3 dz =

3
z 4/3
+ C = z 4/3 + C.
4/3
4

PROBLEMA 7.4.

Resolver

√
(1 − x) xdx.

Soluci´n
o

Siseparamos en dos integrales, resulta:
I=

√

xdx −

√
x xdx =

x1/2 dx −

PROBLEMA 7.5.

Resolver

√

x−

x
2
+√
2
x

dx.

270

2
2
x3/2 dx = x3/2 − x5/2 + C.
3
5

Soluci´n
o
Si escribimos el integrando en forma de potencia, tenemos:
x1/2 dx −

I=

1
2

xdx + 2

2
1
x−1/2 dx = x3/2 − x2 + 4x1/2 + C.
3
4

PROBLEMA 7.6.

Resolver

(3s + 4)2ds.

Soluci´n
o

Desarrollando la potencia,
I =
= 9

(9s2 + 24s + 16)ds =

9s2 ds +

24sds +

16ds

s2
s3
+ 24 + 16s + C = 3s3 + 12s2 + 16s + C.
3
2

PROBLEMA 7.7.

Resolver

4x3 − 5x2 + 7
dx.
x2

Soluci´n
o

Si dividimos cada sumando por el denominador com´n, podemos obtener
u
una suma de t´rminos y descomponer en suma de integrales:
e
7
dx = 4 xdx − 5 dx +...