EJEMPLOS sistemas matrices

EJEMPLO 1. Los obreros de una fábrica tienen que construir el esquema de la figura,
ellos necesitan que Ud. les ayude a determinar los diámetros y los perímetros de los
aros del esquema.
Si el metro de fierro de ¼“ cuesta 18 Bs. cuanto gastará la empresa en este material
para fabricar 10 aros de cada diámetro?
SOLUCIÓN
1° Armando ecuaciones.
* Las incógnitas son los diámetros

L 3  ( 21 )L 2  L3


d1  d2
d3
 d2 
2
d2
d3

2
2

cm


42

d2



 18

d3

L 2  ( 1)L 1  L 2

d1

cm

d2
2

 15

42

d1

 42
d3

2
d3

2

15

d1  d2

  27


18

18 cm

d1  d2

 42
1
 d2  d3   27
2
3
9
 d3 
4
2

Ya el sistema está en su forma escalonada, n=r, se tiene solución única.
d3 

94
 6
23

1
d2  27  (6)  30
2
d1  42  30  12

P1 = 2r = D=0,12**10*18= 67,80Bs.
Solución: (12, 30, 6)

P2 =2r =D=0,30**10*18= 169,64 Bs.
P3 =2r = D=0,06**10*18= 33,90 Bs.

Costo total Fe = 67,80 Bs. + 169,64 Bs + 33,90 Bs. = 271,34 Bs.

Ejemplo 7. Al comenzar los estudios de secundaria se les hace un test a los
estudiantes con 30 preguntas sobre Matemáticas. Por cada respuesta correcta se le
dan 5 puntos y por cada respuesta incorrecta o no contestada se le quitan 2puntos.
José obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?
Solución.
Para resolver un problema se debe identificar que significan o cuáles son las variables.
En este caso, las variables son:
x1: pregunta respondida correctamente
x2: pregunta con respuesta incorrecta o no respondida
Las ecuaciones, establecen los vínculos entre las variables.
Así por ejemplo, el número totalde preguntas (con respuesta correcta o incorrecta) es
30, por tanto, la primer ecuación sale de esta afirmación:
x1+ x2= 30
De la ponderación de cada pregunta en el caso de José se obtiene la segunda
ecuación; 5 puntos por x1, (correcta) menos 2 (porque le quitan puntos) por x2,
(incorrecta) debe ser igual al puntaje obtenido por José que es 94
5x1 – 2x2= 94
El sistema que en este caso seresuelve con el método de eliminación de Gauss,
queda:
x1
5x 1

 x2
 2x 2

 30
 94

L2 : 5L 1 - L2

x1  x 2

 30

7x 2

 56

n=r, 2=2, solución única, despejando x2=56/7=8; reemplazando en la primera ecuación,
x1=22
x1
x2

 22
 8

x1  22 respuestas correctas
x 2  8 respuestas incorrectas

Ejemplo: El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500
Bs. (sin impuestos).El valor del vino es 60 Bs. menos que el de los refrescos y de la
cerveza conjuntamente. Si por los refrescos se debe pagar 6% de IVA, 12% por la
cerveza y 30% por el vino, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 592,40
Bs, calcular la cantidad que se gastó en cada tipo de bebida.
Solución.
Para resolver un problema se debe identificar que significan o cuáles son las variables.
Eneste caso, las variables son:
R: cantidad gastada en refresco
C: cantidad gastada en cerveza
V: cantidad gastada en vino
Las ecuaciones, establecen los vínculos entre las variables.
En total se gastó 500 Bs., por tanto la suma total de gastos en cada bebida da la
primera ecuación:
R + C + V= 500
El valor del vino es 60 Bs. menos que el de los refrescos y de la cerveza
conjuntamente:
R + C – V= 60Se debe pagar IVA 6% de refresco, 12% por la cerveza y 30% por el vino, la factura
total con impuestos fue de 592.40 Bs
0,06R + 0,12C + 0,30V= 592,4 – 500
El sistema:
L 2 : ( 1)L1  L 2 R
R
C
V
 500
C
V
 500
R
C
V
 500

R
C
V

60
 2V
  440 L2  L3
0,06 C  0,24 V  62,40
0,06R  0,12C  0,30 V  92,40 L 3 : ( 0,06 )L1  L 3
0,06 C  0,24 V  62,40
 2V
  440
R
C

 120
 160
V 220


En refresco : Bs.120
Se invirtió En cerveza : Bs.160

vino :
Bs.220
En

EJEMPLO 2. Encuentre los valores de a, b, c para que la función definida por la
ecuación y = ax2 + bx + c pase por los puntos (3,0), (2,3), (-1,1)
350
300
250
200
150
100
50
0

-15

-10

-5

-50

0

5

10

15

9a  3b  c  0
4a  2b  c  3
a b c 1
9 3 1 | 0 P  1  1 1 | 1 A 21( 4) 1  1 1 | 1 
4 2 1...