Ejemplos sobre RES y RESE

Ejemplos del Capítulo 2
1

Relación Entrada-Salida (RES)

1.

Calcule la RES del circuito de la Figura 1.1 utilizando:
a)
b)

Expresiones en el dominio del tiempo.
Expresiones en el dominio de la frecuencia.

La salida es la tensión en el capacitor y la entrada es la tensión Vin .

Figura 1.1: Circuito RLC

Solución:
La relación entrada salida es la relación únicamente entre laentrada del sistema y sus
derivadas, la salida del sistema y sus derivadas y los parámetros del sistema, por lo tanto, variables
tales como condiciones iniciales no pueden aparecer en la relación entrada salida, esto implica
que jamás se debe integrar cuando se está tratando de determinar la RES de un sistema, por otro
lado, ésta siempre se debe presentar de la forma:

( )

S u, y = 0
Apartir de estas premisas se puede resolver el ejercicio.
a)
Utilizando expresiones en el dominio del tiempo.
Siempre se adecuado escribir primero las relaciones de los elementos almacenadores de energía,
para este caso se tiene:

&
&
iC = C vC = C y
&
vL = LiL

(1)

Aplicando la LKC en el nodo superior se tiene:

1

i R1 = i L + iC

(2)

Sustituyendo (1) en (2) y sabiendoque la corriente en la resistencia R1 es:

i R1 =

v in − y
R1

Se obtiene:

v in − y
R1

&
= iL + C y

(3)

Aplicando la LTK en la malla de la derecha se tiene:
v R 2 + v L = vc = y

(4)

Sustituyendo (1) en (4) y aplicando la ley de Ohm sobre la resistencia R2 se obtiene:

&
R2 i L + L iL = y

(5)

Ahora, despejando i L de (3) y sustituyendo en (5):

v −y


d v in − y
&
&
R 2  in
 R − C y  + L dt  R − C y  = y ⇒





R2
R
L
L
&
&
&
v in − 2 y − R 2 C y + v in − y − LC&& = y ⇒
y
R
R
R
R
R
R

L
L

& 
&
L C && +  R 2 C +  y +  2 + 1  y − v in + 2 v in = 0
y

R
R
R

 R

Sustituyendo los valores de los parámetros se obtiene:

(

) (

)

&
&
10 −6 && + 10 −3 + 10 −6 y + 10 −3 + 1 y− 10 −6 v in + 10 −3 v in = 0 ⇒
y
&& + 1001 y + 1001 × 10 3 y − v in − 1000 v in = 0
&
&
y
Siendo esta expresión la RES del sistema.
b)
Utilizando expresiones en el dominio de la frecuencia:
Por división de tensiones se puede escribir:

Y (s ) =

Z
Vin (s )
Z + R1

(6)

2

Donde Z es la impedancia mostrada en el circuito de la Figura 1.2.
Z
R1
+
1k
R2
1
Vin
C
1m

L1m

y(t)

-

0

Figura 1.2: Impedancia Z en el circuito RLC

Pero esta impedancia es:

Z = (R2 + Z L ) || Z C
= (R2 + s L ) ||

1
sC



1
=
 R + s L + sC

 2


−1

 1 + s C (R 2 + s L ) 

=


R2 + s L


R2 + s L
=
1 + s C R2 + s 2 C L

−1

Sustituyendo el valor de Z en (6) se obtiene:

R2 + s L
1 + s C R2 + s 2 C L
Y (s ) =
V in ( s )R2 + s L
+ R1
1 + s C R2 + s 2 C L
=

=

R2 + s L

(

R 2 + s L + R1 1 + s C R 2 + s 2 C L
R2 + s L

)

V in ( s )

R 2 + R1 + s ( C R 2 R1 + L ) + s 2 C L R1

[

V in ( s ) ⇒

]

0 = R 2 + R1 + s (C R 2 R1 + L ) + s 2 C L R1 Y ( s ) − ( R 2 + s L ) V in ( s )

3

Sustituyendo el valor de los parámetros se obtiene:

0 = 1001Y (s ) + 1,001 s Y (s ) + 0,001 s 2 Y(s ) − Vin (s ) − s 0,001Vin (s )
= s 2 Y (s ) + 1001 s Y (s ) + 1001 × 10 3 Y (s ) − s Vin (s ) − 0,001Vin (s )

y aplicando la transformada inversa de Laplace1 se obtiene:

0 = 1001Y ( s ) + 1, 001 s Y ( s ) + 0 , 001 s 2 Y ( s ) − V in ( s ) − s 0 , 001V in ( s )

&
&
= && + 1001 y + 1001 × 10 3 y − v in − 1000 v in
y
Expresión que corresponde a la RES del sistema.

1

Deberecordarse que la relación entrada salida siempre se da en el dominio del tiempo, por lo tanto, la respuesta final
no puede contener la variable compleja s.

4

2.

Determine la RES del sistema mostrado en la Figura 1.3, donde la salida es la corriente del
circuito. Grafique además la salida del sistema cuando la entrada es un escalón de tensión de 0
V a 5 V.
L 2H

V
C
0.25

0...