Ejemplos

Colegio Antonio de Nebrija Matemáticas

1. CIRCUNFERENCIA 2. ELIPSE 3. HIPÉRBOLA 4. PARÁBOLA 5. LA TIERRA

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1. CIRCUNFERENCIA
Definición
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P(x,y ) del plano que están a igual distancia de un punto interior C(h,k) llamado centro. A esta distancia constante la llamaremos radio, r. d(P,C) = rUsando la expresión de distancia entre dos puntos (que vimos en el tema de ecuación de la recta):

d ( P, C )  ( x  h) 2  ( y  k ) 2
Elevamos al cuadrado para quitar la raíz: (x- h)2 + (y- k)2 = 0 Desarrollando la ecuación, se tiene: x2 - 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2 Ordenando la ecuación: x2 + y2- 2hx – 2ky + h2 + k2 - r2 = 0

=r

Es decir la ecuación de una circunferencia es de laforma: x2 + y2 + Dx+ Ey+ F = 0

Siendo: D= -2h despejando h: h= -D/2 E = -2k despejando k: k= -E/2

F= h2 + k2 - r2 despejando r:

Colegio Antonio de Nebrija Matemáticas Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a

(x- h)2 + (y- k)2 = 0

x2  y2  r 2

Secantes, cuerdas y tangentes.
Existen varias rectas y puntos especiales en la circunferencia. Cuerda:segmento que une dos puntos de la circunferencia Diámetro: las cuerdas de longitud máxima (aquellas que pasan por el centro)

Secante: una recta que atraviesa la circunferencia, cortándola en dos puntos Tangente: una línea que toca a la circunferencia en un sólo punto. El punto de contacto de la tangente con la circunferencia se llama punto de tangencia. El radio que une el centro con el puntode tangencia es perpendicular a la tangente.

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2.ELIPSE
Definición
Elipse es el conjunto de puntos del plano que verifican que la suma de las distancias desde cada uno de ellos a dos puntos fijos (F y F´) llamados focos es una cantidad constante, que llamamos 2a.

PF+PF´= 2a

Elementos de la elipse.
En la elipse se distinguen los siguienteselementos:         El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´. El eje secundario es la mediatriz del segmento FF´. El centro de la elipse es el punto O en el que se cortan los ejes. Es el centro de simetría. Y los ejes son sus ejes de simetría. La distancia focal es el segmento FF´, cuya longitud es 2c. Los focos son los puntos F y F´. En una elipse de centro C(0,0), las coordenadasde los focos son F(c,0) y F´(-c,0) Los vértices son los puntos A y A´, B y B´ en los que los ejes cortan a la elipse. En una elipse de centro O(0,0), las coordenadas de los vértices son A(a,0) A´(-a,0) B(0,b) B´(0,-b) El eje mayor es el segmento AA´. El eje menor es el segmento BB´.

Colegio Antonio de Nebrija Matemáticas La longitud del eje mayor AA´ se designa por 2a, AA´= 2a La longitud delos semiejes es: OA = OA´= a. La longitud del eje menor BB´ se designa por 2b, BB´ = 2b Por tanto: OB = OB´ = b. La distancia focal FF´ se designa por 2c, FF´ = 2c y la semidistancia focal será: OF = OF´ = c.

Relación entre a, b y c.
Si tomamos el punto P en el vértice B, obtenemos BF + BF´ = 2a, luego BF = BF´ = a Considerando el triángulo rectángulo OFB, de catetos b y c y de hipotenusa a. 22 2 El teorema de Pitágoras proporciona la relación: a = b + c

Ecuación reducida de la elipse de eje mayor OX
Haciendo uso de la definición de elipse y de la relación entre los elementos principales , obtenemos :

x2 y2  1 a2 b2

Excentricidad.
Si se observan varias elipses se ve que unas son redondeadas y otras son alargadas o achatadas. Esta característica de la elipse de ser más omenos redondeada se mide con un número llamado excentricidad (e), que es el cociente de c entre a: e = c / a, con ca, se deduce que la excentricidad de la hipérbola es un número mayor que1. Si e tiende a 1, c tiende al valor de a y las ramas se cierran cada vez más. Por el contrario, cuanto mayor es la excentricidad, más se van abriendo las ramas de la hipérbola.

Asíntotas de la hipérbola.
Las...