EjeOptMix

Ejercicio de Optimizaci´on
Restricciones Mezcladas (Igualdad y Desigualdad)
Maximizar
f (x, y) = 3xy − x3
sujeto a


2x − y = −5








 5x + 2y ≥ 37


x≥0







y≥0
Soluci´on. Reconocemos la gr´afica de la funci´on y el conjunto restricci´on:

30
5
f x,y

2

0
-5

1.5

0

1 y

0.5

10
2

0.5

1
x

20

1.5

20

4

6

8

10

12

14

-10
-20

Observamos que el gradiente dela restricci´on de igualdad h(x, y) = 2x − y es
∇h(x, y) = (2, −1) = (0, 0).
Para que se cumpla la restricci´on de cualificaci´on, a lo m´as una restricci´on
de desigualdad es efectiva. Vemos cadacaso:

λ1 = 0
rango

2 −1
−5 −2

=2

rango

2 −1
−1 0

=2

λ2 = 0

λ3 = 0
rango

2 −1
0 −1

=2

En todos los casos se satisface la condici´on de restricci´on no degenerada.
Formamos el Lagrangiano:
L(x,y, µ, λ1 , λ2 , λ3 ) = 3xy − x3 − µ(2x − y + 5) − λ1 (−5x − 2y + 37) + λ2 x + λ3 y
Escribimos las condiciones de primer orden:

A.1
A.2

B.1

C.1
C.2
C.3

∂L
= 3y − 3x2 − 2µ + 5λ1 + λ2 = 0
∂x

D.1

λ1≥ 0

∂L
= 3x + µ + 2λ1 + λ3 = 0
∂y

D.2

λ2 ≥ 0

D.2

λ3 ≥ 0

E.1

−5x − 2y ≤ −37

E.2

−x ≤ 0

E.3

−y ≤ 0

2x − y = −5

λ1 (−5x − 2y + 37) = 0
λ2 x = 0
λ3 y = 0

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Ahora analizamos casos.
λ1= 0 y λ2 = λ3 = 0
En este caso la primera restricci´on es efectiva, es decir que E.1 se transforma
en 5x + 2y = 37. De B.1 llegamos a que y = 2x + 5 y entonces
⇒

5x + 2(2x + 5) = 37

⇒

x=3

y = 11Los coeficientes de Lagrange µ y λ1 los obtenemos del sistema de ecuaciones
que resulta al sustituir los valores de x y y en las ecuaciones A.1 y A.2.
Entonces
3(11) − 3(32 ) − 2µ + 5λ1 = 0

⇒

3(3)+ µ + 2λ1 = 0

⇒

2µ − 5λ1 = 6
µ + 2λ1 = −9

As´ı, µ = −9 − 2λ1 y entonces
2(−9 − 2λ1 ) − 5λ1 = 6

⇒

−18 − 4λ1 − 5λ1 = 6

⇒

λ1 = −8/3

Por lo tanto µ = −11/3. Tenemos nuestro primer candidato:
x

yµ

λ1

λ2

λ3

3

11

−11/3

−8/3 (< 0)

0

0

λ2 = 0 y λ1 = λ3 = 0
En este caso la segunda restricci´on es efectiva, es decir que E.2 se transforma
en x = 0. De B.1 llegamos a que y = 5. De A.2...