Ejer

Universidad Andrés Bello.
Departamento de Matemáticas.

David Zúñiga Contreras

1. Calcular los siguientes límites:

1 
 1
− 2
3
x 
x

a) lím 
x →1

Solución:
Lo primero es evaluar la tendencia en el límite y si da un valor finito, entonces ese es el valor
del límite, en efecto:

1  1 1
1
lím  3 − 2  = − = 0
x →1
x  1 1
x
1 
1
∴ lím  3 − 2  = 0
x →1
x 
x
b) lim
x→ 2

x2 − 4
x 2+ 12 x − 28

Solución:
Para el cálculo de límites algebraicos es necesario dominar ciertas técnicas algebraicas, las más
usuales son la racionalización y la factorización (productos notables).
Productos notables elementales:

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2
( a + b ) ⋅ ( a − b) = a − b
2

Cuadrado de binomio.

2

Suma por su diferencia (diferencia de cuadrados)

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b 3 Cubo debinomio.
3

3

2

2

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 Cubo de binomio.

a 3 − b 3 = (a − b) ⋅ (a 2 + ab + b 2 ) Diferencia de cubos.
a 3 + b 3 = (a + b) ⋅ (a 2 − ab + b 2 ) Suma de cubos.

Si evaluamos el límite en la tendencia dada nos da la forma indeterminada
factorizando tenemos:

lim
x→2

x2 − 4
( x − 2) ⋅ ( x + 2)
( x + 2)
= lim
= lim
2
x→2 ( x + 14)
x + 12 x − 28 x→2 ( x − 2) ⋅ ( x +14)

Evaluando nuevamente la tendencia tenemos:

lim
x →2

( x + 2) 4 1
= =
( x + 14) 16 4

∴ lim
x →2

x2 − 4
1
=
2
x + 12 x − 28 4

0
, luego
0

Universidad Andrés Bello.
Departamento de Matemáticas.
c) lim
x →3

David Zúñiga Contreras

9 − x2
x 3 − 27

Solución:
Si evaluamos el límite en la tendencia dada nos da la forma indeterminada

0
, luego
0

factorizando tenemos:

(En el numerador sumapor su diferencia y en denominador diferencia de cubos)

lim
x →3

32 − x 2
(3 − x) ⋅ (3 + x)
= lim
3
3
x
→
3
x −3
( x − 3) ⋅ ( x 2 + 3x + 9)

Factorizando el numerador por “ -1 ” (dejando el signo menos fuera del paréntesis)
lim
x→3

− ( x − 3) ⋅ (3 + x)
− (3 + x)
= lim 2
2
x→3 ( x + 3 x + 9)
( x − 3) ⋅ ( x + 3 x + 9)

Evaluando nuevamente la tendencia tenemos:

lim
x →3

2
− (3 + x)
−6
=
=−
2
( x+ 3 x + 9)
27
9

∴ lim
x →3

9 − x2
2
=−
3
x − 27
9

1+ x − 1− x
x

d) lím
x →0

Solución:
Si evaluamos el límite en la tendencia dada nos da la forma indeterminada

0
, luego
0

“racionalizando” (multiplicando por un uno inteligente) tenemos:

1+ x − 1− x 1+ x + 1− x
⋅
Nos queda una suma por su diferencia luego
x →0
x
1+ x + 1− x
escribimos:
lím

( 1+ x ) − ( 1− x )
x ⋅ ( 1+ x + 1− x )
2

límx→0

2

El cuadrado se simplifica con la raíz, no olvide poner el

paréntesis, reduzca términos semejantes y simplifique la “ x ” nos queda:
lím
x →0

1 + x − (1 − x)
2x
= lím
= lím
x →0 x ⋅
x →0
x ⋅ 1+ x + 1− x
1+ x + 1− x

(

)

(

Evaluando nuevamente la tendencia tenemos:

lím
x →0

(

∴ lím
x →0

2
=
1+ x + 1− x

)

2
=1
1+ 1

1+ x − 1− x
=1
x

)

(

2
1+ x + 1− x

)

Universidad Andrés Bello.Departamento de Matemáticas.

e) lím
x →1

David Zúñiga Contreras

2 − x2 + 3
1− x

Solución:
Si evaluamos el límite en la tendencia dada nos da la forma indeterminada

0
, luego
0

“racionalizando” (multiplicando por un uno inteligente) tenemos:

lím
x→1

2 − x2 + 3 2 + x2 + 3
⋅
Nos queda una suma por su diferencia luego escribimos:
1− x
2 + x2 + 3

(2 )2 − (

(

lím

x2 + 3

)

2

)

Alsimplificar el cuadrado con la raíz no olvide poner el
(1 − x) ⋅ 2 + x 2 + 3
paréntesis:
4 − ( x 2 + 3)
4 − x 2 − 3)
1 − x2
lím
= lím
= lím
x →1
x→1
x →1
(1 − x) ⋅ 2 + x 2 + 3
(1 − x) ⋅ 2 + x 2 + 3
(1 − x) ⋅ 2 + x 2 + 3
x→1

)

(

)

(

)

(

Si evaluamos nuevamente la tendencia, en este paso, nos sigue dando indeterminado, luego
debemos seguir manipulando algebraicamente la función para esquivar(eliminar) la
indeterminación, en efecto, en el numerador tenemos suma por su diferencia:

lím
x→1

1 − x2

(

(1 − x) ⋅ 2 + x + 3
2

)

= lím
x→1

(1 − x) ⋅ (1 + x)

(

(1 − x) ⋅ 2 + x + 3
2

)

= lím
x→1

(1 + x)

(2 +

x2 + 3

)

Si evaluamos nuevamente la tendencia, ahora no nos da indeterminado:

lím
x→1

(1 + x)

(2 +

∴ lím
x→1

x →2

)

=

2
1
=
2+ 4 2

2 − x2 + 3 1
=
1− x
2
3

f) lím

x +3
2...