Ejerccios identidades trigonoetricas

Universidad Andr´s Bello e Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ingenier´ ıa FMM 190 - Matem´ticas I a Prof: Alfonso Toro

´ SOLUCION PORTAFOLIO No 1
1. Demuestre las siguientesidentidades trigonom´tricas: e a) csc x 1 − = 2 sec2 x 1 + csc x sin x − 1 csc x 1 1 1 − = − = 1 + csc x sin x − 1 sin x + 1 sin x − 1 sin x − 1 − (sin x + 1) −2 2 = = = 2 sec2 x 2 2 2x cos sin x − 1−(1 − sin x) b) tan x − cot x = tan x + cot x 1 − 2 cos2 x
x sin x − cos x tan x − cot x 1 cos x sin = = = 2 2x 2x 1 − 2 cos cos x sin x sin x − cos sin2 x + cos2 x sin x cos x = + = tan x + cot xcos x sin x cos x sin x

1 + tan2 x c) = 1 + cot2 x
2

1 − tan x 1 − cot x

2

1 − tan x 1 − 2 tan x + tan2 x sec2 x − 2 tan x = = = 1 − cot x 1 − 2 cot x + cot2 x csc2 x − 2 cot x 1sin x 1 − 2cos x sec2 x 1 + tan2 x 2 cos2 x = cos x = = 1 1 cos csc2 x 1 + cot2 x − 2sin xx sin2 x sin2 x 2. Un hombre est´ de pie en un punto A de la ribera de un r´ de orillas paralelas yobserva a ıo que la recta que une el punto A con el punto B de la ribera opuesta forma un ´ngulo de 30◦ a con la orilla en la que ´l se encuentra. El hombre camina por la orilla hacia un punto D, quee se encuentra al frente de B. Cuando ha caminado 200 m, el ´ngulo que vio anteriormente ha a aumentado a 60◦ . Calcular el ancho del r´ ıo. De acuerdo al enunciado, se puede obtener lasiguiente representaci´n: o

De la figura se obtiene que: tan 60◦ = tan 30◦ = Resolviendo se obtiene: √ x = 100 3 3. Para las siguientes funciones determine: amplitud, per´ ıodo y fase. Dibuje sugr´fica en el intera valo [−4π, 4π] x 2π a) f (x) = 2 sin( + ) 2 3 π b) f (x) = −3 cos(2x + ) 2
3

x x ⇒y= y tan 60◦

x x ⇒y= − 200 200 + y tan 30◦

2
y

1

K10

K5

0

5

x

10K1 K2 K3

Figura 1: f (x) = sin(x)
3 2

f (x) = 2 sin( x + 2

2π ) 3

1

K10

K5

0

5

x

10

K1 K2 K3

Figura 2: f (x) = cos(x)

f (x) = −3 cos(2x + π ) 2...