Ejercicio 1.0

Razón de cambio
La medición de razones y proporciones tiene gran aplicación en varias áreas de la ingeniería, es necesario saber tal magnitud para dar una aproximación a problemas de la vida real. Es posible realizar calcular diferencias para cualquier arreglo de datos. En probabilidad y estadística se obtiene razón deinterés compuesto, en física el trabajo que se requiere en determinadacondición de tiempo y espacio, crecimientos poblacionales, circuitos eléctricos,temperatura etc. Es prudente hacer la observación los eventos anteriores están en función del tiempo "t"
La representación de estos cambios se denota usando el símbolo de incremento por lo tanto la razón de cambio "x" en el tiempo "t" se puede representa por
=
El numero de habitantes se duplica cada 5 anos, encontrar larazón de cambio y represente los resultados gráficamente (ver imagen 1.1) para ilustración

,
La fuerza para mover un objeto es directamente proporcional a su aceleración encontrar la razón de cambio

Las anteriores razones de cambio suponen un incremento o decremento constante, la representación grafica de tales funciones es una función de la forma y=mx+b
Para obtener una mejor aproximación esnecesario usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

Problemas propuestos

El numero de habitantes se triplica cada ano, encontrar la razón de cambio y una función que prediga la población en un tiempo "t"
La temperatura en una habitación disminuye 3 grados centígrados cada 10 minutos, encuentre la razón de cambio
La masa de unelemento radioactivo decae en el tiempo, encuentre la razón de cambio
Para análisis y comprensión de la grafica siguiente encuentre la razón de cambio

Ecuaciones diferenciales ordinarias
Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

Una ecuación diferencial es una ecuación quecontiene derivadas o diferenciales (razones de cambio infinitesimales),
Encontramos integrando
Encontramos integrando
Las ecuaciones 1 y 2 son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, la característica de estas funciones es posible despejar la razón de cambio e integrar con facilidad, otro ejemplo de ecuaciones diferenciales son :

Esta es una ecuación diferencial desegundo orden, así llamado por el orden de la derivada. El orden de una ecuación diferencial es el mismo que el de la derivada de mayor orden que en ella aparece
Ejercicio - Encuentra el grado "n" de las siguiente ecuaciones diferenciales

Soluciones de una ecuación diferencial. Constantes de integración

Una solución o integral de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, quedefine a una de ellas como función de la otra, que satisface a la ecuación así.

Es una solución general de la ecuación diferencial

Ejemplo 2

En el problema anterior "a" es una constante arbitraria de la misma manera se puede representar como c1 y c2 respectivamente dan una solución mas general al problema a esta constante arbitraria se la conoce como constante de integración
Ejemplo 3Del problema anterior hallar una solución cuando y=2 dy/dx=-1 x=0
La solución general de la función es para y=2 e dy/dx=-1 cuando x=0 aplicando relación entre variables

Sustituyendo los valores encontrados de c1 y c2 en la solución general encontramos nuestro resultado

Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en términos de integrales, pueda ono efectuarse la integración
Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales
Antes de emprender el problema de resolver ecuaciones diferenciales, Mostraremos como se verifica una solución dada. En los tratados sobre ecuaciones diferenciales se demuestra que la solución general de una ecuación diferencial de orden "n", tiene "n" constantes arbitrarias
Demostrar que

Es una...