Ejercicio 1 Primer Parcial Fisica II Dante Patrigniani 2015

Se tiene una distribución lineal de carga de forma
circular de radio R sobre el plano XY. La parte
negativa del eje Y tiene densidad de carga negativa
(azul), mientras que la parte positiva del eje Ytiene
carga positiva (rojo).
Podemos bosquejar algunas lineas de campo para
imaginarnos como debería ser el campo en el origen
(recordando siempre que las lineas de campo salen
de cargas positivas yvan hacia cargas
negativas):

Para el campo en el origen podemos observar que las
contribuciones para el campo en le coordenada X se
anulan mientras que para el campo en el eje Y se
refuerzan. A suvez en el origen no existen
contribuciones para la componente Z del campo. Por
lo tanto podemos asegurar que el campo solo tendra
componente Y negativa, igual al doble de la
contribución del semicirculopositivo.
Hallaremos entonces el campo a lo largo del eje Z
(inciso b)), donde tampoco habrá contribución para
la componente Z del campo ya que las cargas
positvas “empujan” hacia arriba y negativashacia
abajo, cancelandose, y evaluaremos ademas para el caso particular Z=0 (inciso a)).
Planteamos entonces la Ley de Coulomb para distribuciones de carga continuas,
reconociendo que nuestradistribución de carga se encuentra sobre el plano XY y que solo
queremos hallar el campo a lo largo del eje Z:

, donde r representa el punto donde queremos calcular el campo, de la forma
(0,0,z), y r' lospuntos donde se encuentra la distribución de cargas. Reemplazando
directamente:
, donde se hace explicita la
dependencia de λ con la posición, ya que no es
igual a lo largo de todo el anillo.
Observamosque debido al tipo de distribución, el problema requiere de un cambio de
coordenadas a polares para poder expresar el diferencial de desplazamiento y los limites de
integración de forma sencilla.Utilizamos entonces:

Debido a que la distribución es lineal, es necesario realizar una sola integral, donde la
variable es θ y R es una constante. Por lo tanto es importante recordar el Jacobiano
de...